1、考点规范练41直线、平面垂直的判定与性质基础巩固1.(2021广东珠海一模)已知,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm,mC.,lD.lm,m2.已知,是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是()m,n,且mn,则;m,n,且mn,则;m,n,且mn,则;m,n,且mn,则.A.B.C.D.3.(2021山东烟台二中月考)如图甲所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如
2、图乙所示,那么,在四面体A-EFH中必有()甲乙A.AHEFH所在平面B.AGEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.HGAEF所在平面4.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m5.(2021山西太原二模)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PABC且PA=BC=1,PB=AC=2,PC=3,则下列结论不正确的是()A.平面PAB平面PBCB.平面PAB平面ABCC.平面PAC平面PBCD.平面PAC平面ABC6.如图,已知ABC为直角三角形,其中ACB=90,M为AB的中点,PM
3、垂直于ABC所在的平面,则()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是()A.ACBDB.BAC=90C.CA与平面ABD所成的角为30D.四面体A-BCD的体积为138.在四面体ABCD中,DA平面ABC,ABAC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE平面BCD,则DE=.9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足
4、时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)10.(2021广西来宾模拟)如图,在圆柱中,AB为圆柱底面的一条直径,AC为圆柱的一条母线,D为AB的中点,AB=AC=4.(1)证明:BD平面ACD;(2)求点A到平面BCD的距离.11.如图,菱形ABCD的边长为4,ABC=60,E为CD中点,将ADE沿AE折起使得平面ADE平面ABCE,BE与AC相交于点O,H是棱DE上的一点,且满足DH=2HE.(1)求证:OH平面BCD;(2)求四面体ABDH的体积.12.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.
5、将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.能力提升13.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部14.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平
6、面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC15.如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线16.如图,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.下列结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是()A.B.C.D.17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上
7、,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.高考预测18.在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,A1B1=A1C1=m,A1B=A1C,BAC=90,M为BC中点.(1)证明:平面A1AM平面ABC;(2)若BA1C=90,多面体A1B1C1CB的体积为22,求m的值.参考公式:V台体=13(S+SS+S)h(S,S分别为上、下底面面积,h为台体高)答案：1.D解析由,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于A,lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故A错误;对于B,lm,m,则l与相交、平行或l,故
8、B错误;对于C,l,则l与相交、平行或l,故C错误;对于D,lm,m,则由线面垂直的判定定理得l,故D正确.2.D解析对于,当m,n,且mn时,有或,相交,所以错误;对于,当m,n,且mn时,有或或,相交但不垂直,所以错误;对于,当m,n,且mn时,得出m,所以,正确;对于,当m,n,且mn时,成立,所以正确.综上知,正确的命题序号是.故选D.3.A解析根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,HEHF=H,AH平面EFH,故A正确;过A只有一条直线与平面EFH垂直,B不正确;由题意,可知AGEF,EFAH,EF平面HAG,又EF平面AEF,平面HAG平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF(图略)
9、,该直线一定在平面HAG内,C不正确;HG不垂直于AG,HG平面AEF不正确,故D不正确.4.D解析对于A,l,m,且lm,如图(1),不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图(2),不垂直;图(1)图(2)对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系也不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知,.5.C解析PA=BC=1,PB=AC=2,PC=3,在PBC中,PB2+BC2=12+(2)2=(3)2=PC2,BCPB.又PABC,PAPB=P,BC平面PAB,又BC平面PBC,BC平面ABC,平面PAB平面PBC,平面PAB平面ABC,故A,B正确
10、;在PAC中,PA2+AC2=12+(2)2=(3)2=PC2,PAAC,PABC,BCAC=C,PA平面ABC,又PA平面PAC,平面PAC平面ABC,故D正确;对于C选项,若假设平面PAC平面PBC,则过A作AMPC于M,如图,由平面PAC平面PBC=PC,AM平面PBC,可得AMBC,又PABC,PAAM=A,BC平面PAC,BCAC,这与BCAB矛盾,故假设不正确,故C选项错误.6.C解析M为AB的中点,ACB为直角三角形,BM=AM=CM.又PM平面ABC,RtPMBRtPMARtPMC,故PA=PB=PC.7.B解析若A成立可得BDAD,产生矛盾,所以A错误;由题设知,BAD为等腰
11、直角三角形,CD平面ABD,得BA平面ACD,于是BAAC,所以B正确;由CA与平面ABD所成的角为CAD=45,知C错误;由VA-BCD=VC-ABD=16,知D错误.故选B.8.135解析过A作AHDE,平面ADE平面BCD,且平面ADE平面BCD=DE,AH平面BCD,AHBC.又DA平面ABC,BC平面ABC,ADBC,BC平面ADE,BCAE.AE=345,AD=1,DE=135.9.DMPC(或BMPC等)解析连接AC.PA底面ABCD,PABD.四边形ABCD为菱形,ACBD.又PAAC=A,PA,AC平面PAC,BD平面PAC.BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面
12、MBD.PC平面PCD,平面MBD平面PCD.故填DMPC(或BMPC等).10.(1)证明由圆的性质可知BDAD,由AC为圆柱的一条母线,可知AC平面ABD.又因为直线BD在平面ABD内,所以ACBD.因为BDAD,ACBD,ACAD=A,AD,AC平面ACD,所以BD平面ACD.(2)解由BD平面ACD,CD平面ACD,所以BDCD,由AB=4,D为AB的中点,在RtABD中,可得AD=BD=22,在RtACD中,CD=AC2+AD2=16+8=26,所以SBCD=12BDCD=122226=43.设点A到平面BCD的距离为d,VC-ABD=134122222=163,VA-BCD=13d
13、43=433d.由VC-ABD=VA-BCD,有433d=163,可得d=433.故点A到平面BCD的距离为433.11.(1)证明由题意得CEAB,AB=2CE,所以OEOB=12.又DH=2HE,所以OHBD.又BD平面BCD,OH平面BCD,所以OH平面BCD.(2)解因为平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,AECE,所以CE平面ADE.因为CEAB,所以AB平面ADE.所以四面体ABDH的体积VABDH=VB-ADH=13SADHAB=131243234=1693.12.(1)证明在题图中,因为ADBC,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEA
14、C,四边形BCDE为平行四边形.所以在题图中,BEA1O,BEOC,BECD,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.13.A解析由BC1AC,又BAAC,则AC平面ABC1,因此平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在
15、直线AB上.14.D解析由题意知,在四边形ABCD中,CDBD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD平面ABD,因此有ABCD.又因为ABAD,且CDAD=D,所以AB平面ADC,于是得到平面ADC平面ABC,故选D.15.B解析如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长
16、为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.16.B解析对于,因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.因为AB为O的直径,所以BCAC.所以BC平面PAC.又PC平面PAC,所以BCPC;对于,因为点M为线段PB的中点,AB为O的直径,所以OMPA.因为PA平面PAC,OM平面PAC,所以OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.故都正确.17.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故ACBD.又因为BB1平面ABC
17、D,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AEGD1.因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.18.(1)证明M为BC中点,AB=AC=2,AMBC.A1B=A1C,A1MBC.AMA1M=M,AM,A1M平面A1AM,BC平面A1AM.BC平面ABC,平面A1AM平面ABC.(2)解在RtABC中,BAC=90,AB=AC=2,M为BC的中点,BC=22,AM=2.BA1C=90,M为BC的中点,A1M=12BC=2.又AA1=2,A1MA=90.由(1)知平面A1AM平面ABC,且交线为AM,A1M平面A1AM,A1M平面ABC.故棱台的高为h=A1M=2.又SABC=2,SA1B1C1=12m2,多面体A1B1C1CB的体积为22,VA1B1C1CB=VABC-A1B1C1-VA1-ABC=1312m2+mh=22,把h=2代入得m=1.
