1、考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)考情分析1.本部分内容是高考的重点，利用三角公式进行化简。变形常与研究三角函数的图象性质相结合，有时也与平面向量、解三角形相结合，是高考的热点2题型以解答题为主，属中低档题小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当 是第一象限角时，sin21cos2。()(2)对任意角，tan221cos1cos都成立。()(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的。()(4)公式 asinxbcosx a2b2sin(
2、x)中 的取值与 a，b 的值有关。()解析：(1)错误。在第一象限时，2在第一或第三象限。当2在第一象限时，sin21cos2，当2在第三象限时，sin21cos2。(2)错误。此式子必须使 tan2有意义且 1cos0。即2k2且2k，即(2k1)(kZ)。(3)正确。由半角公式推导过程可知正确。(4)正确。由 cosaa2b2，sinba2b2，可知 的取值与 a，b 的值有关。2(2016江西一模)已知 12sin5cos13，则 tan()A 512 B125 C125 D 712解析：由 12sin5cos13，得1213cos 513cos1。设 cos1213，则 sin 51
3、3，则 tansincos 512，则方程等价为 sin()1，则 22k，即 22k，则 tantan22k tan2 1tan125。答案：B3化简sin2cossincos2等于()Asin BcosCsin Dcos解 析：sin2cossincos2 2sincos2sincos2 sin2cos21cos2sincos2cos2sin。答案：C4如果 2，且 sin45，那么 sin4 cos4()A.4 25 B4 25 C.3 25 D3 25解析：因为 sin45，2，所以 cos35，而 sin4 cos4 2sin2 2cos3 25。答案：D5函数 y 3cos4xsi
4、n4x 的最小正周期为_。解析：y 3cos4xsin4x232 cos4x12sin4x2cos6cos4xsin6sin4x 2cos4x6，故 T24 2。答案：2知识重温一、必记 3个知识点1降幂公式sin22_(用 cos 表示)cos22_(用 cos 表示)tan22_(用 cos 表示)1cos21cos21cos1cos2半角公式sin2 1cos2cos2 1cos2tan2 1cos1cossin1cos1cossin其符号由2所在的象限决定。3辅助角公式asinxbcosx a2b2sin(x)，其中 sinba2b2，cosaa2b2。二、必明 2个易误点1实施简单的
5、三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的。2凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解。考点一 化简与求值问题【典例 1】(1)已知 450540，则12121212cos2的值是()Asin2 Bcos2Csin2Dcos2(2)化简：sin2sin2cos2cos212cos2cos2_。A12解析：(1)原式12121cos221212cos|sin2|。因为 450540，所以 2252270。所以原式sin2，故选 A。(2)方法一：(从“角”入手，复角单角)原
6、式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212。方法二：(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos2cos2cos2sin2(cos2sin2)12cos2cos2cos2sin2cos212cos2cos2cos2cos2sin212cos21cos22cos2sin21212sin21cos2212cos212。方法三：(从“
7、幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos221cos221cos221cos2212cos2cos214(1cos2cos2cos2cos2)14(1cos2cos2cos2cos2)12cos2cos212。方法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原 式 (sinsin coscos)2 2sinsincoscos 12cos2cos2cos2()12sin2sin212cos2cos2cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112。悟技法三角式化简与求值的原则方法与要求(1)三角函数式的化简遵循的三个原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联
8、系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式。二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”。三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂。(3)三角函数式化简的要求能求出值的应求出值。尽量使函数种数最少。尽量使项数最少。尽量使分母不含三角函数。尽量使被开方数不含三角函数。通一类1化简：1sincossin2cos222cos(0)_。cos解析：原式2sin2cos22cos22 sin2cos24cos22cos2sin22cos22|cos2|c
9、os2cos|cos2|，因为 0，所以 022，所以 cos20，所以原式cos。考点二 研究三角函数的图象与性质【典例 2】(1)将函数 y 3cosxsinx(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是()A.12 B.6C.3 D.56(2)函数 y12sin2x 3cos2x 32 的最小正周期等于()A B2C.4 D.2BA解析：(1)由已知 y232 cosx12sinx2sinx3，当 m6时，平移后函数为 y2sinx2 2cosx，其图象关于 y轴对称，且此时 m 最小。(2)y12sin2x 32(1cos2x)32
10、12sin2x 32 cos2xsin2x3，所以 T。悟技法求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的形式。(2)利用公式 T2(0)求周期。(3)根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值。(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的单调区间。通一类2(1)设函数 f(x)sin2x4 cos2x4，则()Ayf(x)在0，2 内单调递增，其图象关于
11、直线 x4对称Byf(x)在0，2 内单调递增，其图象关于直线 x2对称Cyf(x)在0，2 内单调递减，其图象关于直线 x4对称Dyf(x)在0，2 内单调递减，其图象关于直线 x2对称D(2)已知函数 f(x)sin34 x 3cosx4，xR，则 f(x)()A周期为，且图象关于点12，0 对称B最大值为 2，且图象关于点12，0 对称C周期为 2，且图象关于点 12，0 对称D最大值为 2，且图象关于 x512对称B解析：(1)因为 f(x)sin2x4 cos2x4 2sin2x44 2cos2x，所以 f(x)在0，2 内单调递减，且图象关于 x2对称。(2)f(x)sin34 x
12、 3cosx4 sinx4 3cosx4sinx4 3cosx4 212sinx4 32 cosx42sinx4 3 2sinx 12，因为 xR，所以 x 12R，所以1sinx 12 1，则 f(x)的最大值为 2。因为 1，所以周期 T21 2。当 x 12k(kZ)时，f(x)图象关于某一点对称，所以当 k0 时，求出 x 12，即 f(x)图象关于12，0 中心对称，故选 B。考点三 三角恒等变换在实际问题中的应用【典例 3】(2016邵阳模拟)如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形报纸 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB上，点 Q 在 OA 上，
13、点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形MNPQ 的面积为 S。(1)求 S 关于 的函数关系式。(2)求 S 的最大值及相应的 角。解析：(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于 D，QEOB 于 E，则四边形 QEDP 为矩形。由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos。在 RtOEQ 中，OE 33 QE 33 PD，MNQPDEODOEcos 33 sin，SMNPDcos 33 sin sinsincos 33 sin2，0，3。(2)S12sin2 36(1cos2)12sin2 36 cos2 36 33 sin26 36，因为 0，3，所以 266，56，sin26
14、12，1。当 6时，Smax 36(m2)。悟技法三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题。(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题。通一类3如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为3的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C 两点在圆弧上，OE 是POQ 的平分线，连接 OC，记COE，问：角 为何值时矩形 ABCD 面积最大，并求最大面积。解析：设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE对称，而 M，N 均为 AD，BC 的中点，在
15、 RtONC 中，CNsin，ONcos。OMDMtan6 3DM 3CN 3sin，所以 MNONOMcos 3sin，即 ABcos 3sin，所以 BC2CN2sin，故 S 矩形ABBC(cos 3sin)2sin2sincos2 3sin2sin2 3(1cos2)sin2 3cos2 32sin23 3。因为 06，所以 023，32323，故当 232，即 12时，S 矩形取得最大值，此时 S 矩形2 3。高考模拟1.(2016合肥模拟)已知 cos13，(，2)，则cos2等于()A.63 B 63 C.33 D 33解析：因为 cos13，(，2)，所以22，所以 cos21
16、cos21132 63，故选 B。答案：B2(2016南昌二中模拟)已知函数 ycosxx 关于原点对称，则函数f(x)2cos212x12 1x11 的对称中心的坐标为()A(1,1)B(1,1)C(1，1)D(1，1)解析：f(x)cosx1x11，它可以看成是 ycosxx 图象向右平移 1个单位，然后向下再平移 1 个单位得到，由于 ycosxx 关于原点对称，故 f(x)有对称中心(1，1)。答案：C3(2016唐山模拟)已知函数 f(x)sinx 3cosx(0)，f6 f2 0，且 f(x)在区间6，2 上递减，则()A3 B2C6 D5解析：f(x)sinx 3cosx212s
17、inx 32 cosx 2sinx3，由正弦函数的图象知，f(x)单调递减，则 2k2x32k32 2k 6x2k 76，可知2k 762f(2k,)66，12k14k73，当 k0 时，173，结合选项可知 2，经验证当 2 时，f(x)2sin2x3，f6 f2 2sin263 2sin223 0，故 2。答案：B4(2015重庆卷)若 tan2tan5，则cos310sin5()A1 B2C3 D4解析：cos310sin5sin3102sin5sin5sin5sincos5cossin5sincos5cossin5sincoscos5sin5sincoscos5sin52sin5cos5cos5sin52sin5cos5cos5sin53sin5sin53，故选 C。答案：C5(2016广东模拟)已知 sin23522，tan()12，则 tan()等于()A2 B1C 211 D.211解析：易求得 tan234，tan()12，tan()tan2()tan2tan1tan2tan3412134 122。答案：A
