1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、变速直线运动的位移计算等问题，应如何解决？能否将“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面积的计算，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题连续1微积分基本定理如果 F(x)是区间a，b上的_函数，并且 F(x)_，那么abf(x)dx_.2用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 F(x)f(x)的函
2、数 F(x)，即找被积函数的_，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)f(x)F(b)F(a)原函数原函数3被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的一个_，那么F(x)C(C 为常数)也是被积函数 f(x)的_.但是在实际运算时，不论如何选择常数 C(或者是忽略 C)都没有关系，事实上，以 F(x)C 代替式中的 F(x)有abf(x)dxF(b)CF(a)CF(b)F(a)4求定积分的方法主要有：利用定积分的_；利用定积分的_；利用_.原函数定义几何意义微积分基本定理1如果01f(x)dx1，03f
3、(x)dx1，则13f(x)dx_.2 解析 03f(x)dx03f(x)dx13f(x)dx1，所以 113f(x)dx1，所以13f(x)dx2.2.02(x2x)dx_.23解析(x3312x2)x2x.原式(x3312x2)|20(832)023.3求下列定积分：(1)01xdx_.(2)02sinxdx_.(3)122xdx_.(4)0 cosxdx_.(5)01(x3x)dx_.1212ln2014(6)02(3xsinx)dx_.(7)13 (3x22x1)dx_.(8)121x2dx_.328 124 12解析(1)(x22)x，01xdxx22|1012.(2)(cosx)s
4、inx，02sinxdxcosx|20(cos2)(cos0)1.(3)(2xln2)2x，122xdx 2xln2|21 4ln2 2ln2 2ln2.(4)(sinx)cosx，0 cosxdxsinx|00.(5)01(x3x)dx(14x412x2)|1014.(6)02(3xsinx)dx(32x2cosx)|203821.(7)13(3x22x1)dx(x3x2x)|3124.(8)121x2dx1x|2112(1)12.互动探究学案命题方向1 利用微积分基本定理求定积分典例 1求下列定积分：(1)13 (x23x1)dx；(2)04(cosxsinx)dx；(3)12(ex2x)
5、dx；(4)132x31x2dx.思路分析 明确被积函数，然后寻找被积函数的原函数，再利用微积分基本定理进行计算，必要时，应先对被积函数进行恰当的化简和变形，再寻求其原函数解析(1)(13x332x2x)x23x1，13(x23x1)dx(13x332x2x)|31(9272 3)(13321)43.(2)(sinxcosx)cosxsinx，04(cosxsinx)dx(sinxcosx)|40 21.(3)(ex2lnx)ex2x，12(ex2x)dx(ex2lnx)|21(e22ln2)ee2e2ln2.(4)132x31x2dx13(2x1x2)dx，又(x21x)2x1x2，132x
6、31x2dx(x21x)|31223.规律总结 1.利用微积分基本定理求定积分的步骤：第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和第二步，依次找出各被积函数的一个满足F(x)f(x)的原函数F(x)第三步，利用牛顿莱布尼茨公式求值2常用公式abcdxcx|ba(c 为常数)；abxndx 1n1xn1|ba(n1)；ab1xdxlnx|ba(ba0)；absinxdxcosx|ba；abcosxdxsinx|ba；abexdxex|ba；abaxdx axlna|ba(a0 且 a1)跟踪练习 1求下列定积分：(1)01xndx；(2)23(2x2)
7、(3x)dx；(3)13(x 1x)26xdx；(4)022cos2x2dx.解析(1)01xndx 1n1xn1|10 1n11n1 1n10n1 1n1.(2)23(2x2)(3x)dx23(62x3x2x3)dx(6xx2x314x4)|32(6332331434)(6222231424)94474.(3)13(x 1x)26xdx13(x1x2)6xdx13(6x2612x)dx(2x36x6x2)|31(541854)(266)112.(4)022cos2x2dx02(1cosx)dx(xsinx)|2012.命题方向2 微积分基本定理的应用典例 2(1)(2019泰安高二检测)若0
8、1(2ax2a2x)dx16，则 a_.(2)已知 t0，f(x)2x1，若0tf(x)dx6，则 t_.1 或133解析(1)01(2ax2a2x)dx2a01x2dxa201xdx2ax33|10a22 x2|1023aa22.23aa22 16，解 a1 或13.(2)0tf(x)dx0t(2x1)dx(x2x)|t0t2tt2t6 解得 t2 或 3.t0，t3.跟踪练习 2(1)上题(2)中条件不变，改为试求1t(2x1)dx 的值(2)若将上题(2)中条件改为0af(x)dxf(a2)，求 a 的值解析(1)由 t3，得1t(2x1)dx13(2x1)dx(x2x)|31(93)(
9、11)4.(2)a2aa1，即 a22a10，解得 a1.求分段函数的定积分时，可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解求分段函数的定积分典例 3计算下列定积分：(1)若 f(x)x2，x0，cosx1，x0，求-12f(x)dx；(2)03|x24|dx；(3)02(|x1|x3|)dx.思路分析 解答本题第(1)小题，可按 f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和；解答第(2)(3)小题时，可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分解析(1)因为 f(x)x2，x0，cosx1，x0，所以
10、-12f(x)dx10 f(x)dx02f(x)dx10 x2dx02(cosx1)dx13x3|01(sinxx)2013(12)432.(2)因为|x24|x24，x2或x2，4x2，2x2，所以03|x24|dx02|x24|dx23|x24|dx02(4x2)dx23(x24)dx(4x13x3)|20(13x34x)|32(883)(273 12)(838)233.(3)因为|x1|x1，x1，1x，x1，|x3|x3，x3，3x，x3，所以02(|x1|x3|)dx02|x1|dx02|x3|dx01(1x)dx12(x1)dx02|x3|dx01(1x)dx12(x1)dx02(
11、3x)dx(x12x2)|10(12x2x)|21(3x12x2)|20121245.规律总结(1)在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间a，b上的积分，分成几段积分和的形式分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可(2)当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数 ysin3x，其原函数应为 y13cos3x，而其导数应为 y3cos3x.跟踪练习 3(1)设 f(x)x2，0 x1，2x，1x2，则02f(x)dx()A34 B45 C56 D不
12、存在(2)定积分32 0|sinx|dx 的值为_.C3解析(1)02f(x)dx01x2dx12(2x)dx13x3|10(2x12x2)|21131256.(2)32|sinx|dx0sinxdx32(sinx)dx(cosx)|0cosx320213.积分变量分辨不清 典例 4求定积分13(3t22t1)dx.错因分析 如果对积分变量不注意，马马虎虎，就有可能得到13(3t22t1)dx(t3t2t)|3121120 这样的错误结果正解(3t22t1)x3t22t1，13(3t22t1)dx(3t22t1)x|313(3t22t1)(3t22t1)6t24t2.点评 本题错误在于没有搞清
13、楚积分变量，误以为 t 是积分变量，从而导致错误事实上，该定积分中，积分变量是 x，t 是常数，这时被积函数实质是一个常数函数，从而其原函数应是个一次函数 y(3t22t1)x.B1(2019玉溪模拟)计算12(x1x)dx 的值为()A34 B32ln2C52ln2 D3ln2解析 12(x1x)dx(12x2lnx)|212ln212ln232；故选 B22-22(sinxcosx)dx 的值是_.解析 22(sinxcosx)dx(cosxsinx)2-2112.3若12(2axa1)dx5，则 a_.1解析 12(2axa1)dx(ax2axx)|214a1，所以 4a15，所以 a1.4计算下列定积分：(1)03(|x1|x2|)dx；(2)02cos(2x6)dx.解析(1)|x1|x2|32x，0 x1，1，1x2，2x3，2x3，03(|x1|x2|)dx01(32x)dx121dx23(2x3)dx(3xx2)|10 x|21(x23x)|325.(2)12sin(2x6)12cos(2x6)(2x6)cos(2x6)，02cos(2x6)dx12sin(2x6)2012sin(226)sin(206)12(sin76 sin6)12.课时作业学案
