1、考纲要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性考情分析1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题2题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的。()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0。()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称。()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,
2、0)中心对称。()解析：(1)正确。根据函数奇偶性的定义，f(x)，f(x)必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性。(2)错误。若函数f(x)在点x0处没有定义，如f(x)1x，则f(0)不存在。(3)正确。函数yf(xa)关于直线x0对称，则函数yf(x)关于直线xa对称。(4)正确。函数yf(xb)关于点(0,0)中心对称，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称。2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A13 B.13C.12D12解析：由题意得a12a且b0，故a13，ab13，选B。
3、答案：B3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x。A BC D解析：由奇函数的定义验证可知正确，选D。答案：D4若函数f(x)x2x1xa为奇函数，则a()A.12 B.23C.34 D1解析：由题意，得f(1)f(1)，即111a131a，解得a12，选A。答案：A5已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)()A2 B2C98 D98解析：由f(x4)f(x)，得f(7)f(3)f(1)，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122，f(7)2。
4、故选A。答案：A知识重温一、必记3个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数 如果函数f(x)的定义域内_x都有_，那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数 如果函数f(x)的定义域内_x都有_，那么函数f(x)是奇函数关于_对称任意一个f(x)f(x)y轴任意一个f(x)f(x)原点2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”)。(2)在公共定义域内()两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_。()两个偶函数的和函数、积函数是_。()一个奇函数与一个偶函数的积函数是_。(3)若f(x)是奇函数且在x0处
5、有定义，则f(0)_。相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数0 3函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期。(3)常见结论：若f(xa)f(x)，则T2a；若f(xa)1fx，则T2a；若f(xa)1fx，则T2a。(4)若f(x)为奇函数且周期为T，则fT2 0。f(x)存在一个最小最小正数二、必明2个易误点1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称。定
6、义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件。2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)。考点一 函数奇偶性的判定【典例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由。(1)f(x)x2|x|1 x1,4；(2)f(x)(x1)1x1x x(1,1)；(3)f(x)1ax112(a0，a1)；(4)f(x)x1x x0 x1x x0。解析：(1)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数。(2)f(x)(x1)1x1x，已知f(x)的
7、定义域为1x1，其定义域关于原点对称。又f(x)(x1)1x1x(x1)1x1x1x21x1x 1x1x1x1x21x(1x)1x1x(x1)1x1xf(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数。(3)f(x)的定义域为xR，且x0，其定义域关于原点对称，并且有f(x)1ax11211ax112 ax1ax121ax11ax12111ax121ax112 f(x)，即f(x)f(x)，f(x)为奇函数。(4)f(x)x1x x0 x1x x0 的定义域关于原点对称，当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)。当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0
8、)。f(x)f(x)，f(x)为奇函数。悟技法判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(x)是否等于f(x)或判断f(x)f(x)是否等于零，或判断 fxfx(f(x)0)是否等于1等。(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称。(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的
9、定义域)通一类1下列函数：f(x)x3x；f(x)ln(x x21)；f(x)axaxaxax(a0且a1)；f(x)lg1x1x；f(x)x1x，x0 x1x，x0，其中有_个奇函数。4解析：f(x)x3x的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，所以f(x)x3x是奇函数。由x x21x|x|0知f(x)ln(x x21)的定义域为R，又f(x)ln(x x21)ln1x x21ln(x x21)f(x)，所以f(x)为奇函数。f(x)定义域为R，且f(x)axaxaxaxf(x)，所以f(x)为奇函数。由1x1x0得1x1，f(x)lg1x1x的定义域为(1,1)，又f(
10、x)lg1x1xlg1x1x1lg1x1xf(x)，所以f(x)为奇函数。函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，其关于原点对称，并且有当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)，当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数。所以中共有4个奇函数。2若函数f(x)(xR)是奇函数，函数g(x)(xR)是偶函数，则()A函数f(g(x)是奇函数B函数g(f(x)是奇函数C函数f(x)g(x)是奇函数D函数f(x)g(x)是奇函数解析：根据函数奇偶性的定义可知，f(g(x)f(g(x)，所以f(g(x)是偶函数，同理可以判断g(f(x)是偶函数，
11、函数f(x)g(x)的奇偶性不确定，而f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。答案：C考点二 函数奇偶性的应用【典例2】(1)(2016佛山统考)若函数f(x)sinxx2xa是奇函数，则实数a的值等于_。(2)已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)lnx，则f f1e2的值为()A.1ln2 B 1ln2Cln2 Dln22D解析：(1)方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)，即sin1a1 sin13a1，于是a13(a1)，解得a2，且这时f(x)sinxx24，容易验证f(x)是奇函数。方法二：ysinx是奇函数，f(x)是奇函
12、数，y(x2)(xa)x2(2a)x2a是偶函数，2a0，即a2。(2)由已知可得f1e2 ln1e22，所以ff1e2 f(2)。又因为f(x)是奇函数，所以ff1e2 f(2)f(2)ln2，故选D。悟技法函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。通一类3设定义在R上的奇
13、函数f(x)满足f(x)x24(x0)，则f(x2)0的解集为()A(4,0)(2，)B(0,2)(4，)C(，0)(4，)D(4,4)解析：f(x)x24(x0)，当x0时，若f(x)0，则x2，又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，x0，若f(x)0，则f(x)0，则0 x2，即2x0，故f(x)0的解集为(2,0)(2，)，故f(x2)0时，x2(2,0)(2，)，x(0,2)(4，)，即f(x2)0的解集为(0,2)(4，)。答案：B4已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，若g(2)a，则f(2)()A2 B.174C.1
14、54 Da2解析：由题意得：f(x)g(x)g(x)f(x)axax2，联立f(x)g(x)axax2，求解得：g(x)2，f(x)axax。故a2，f(2)2222414154。答案：C考点三 函数的周期性及应用【典例3】(1)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_。D1解析：(1)由图象可知选D。(2)因为T2，则f(x)f(x2)，又f(1)f(12)f(1)，因为x1,3)时，f(x)x2，所以f(1)f(1)121。悟技法函数周期性的判定与
15、应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期。通一类5已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f x32，且f(1)3，则f(2 014)_。解析：因为f(x)fx32，所以f(x3)fx32 32fx32 f(x)。所以f(x)是以3为周期的周期函数。则f(2 014)f(67131)f(1)3。答案：36设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)
16、_。解析：因为f(x)f(x2)13，所以f(x2)13fx，则有f(x4)13fx2 1313fxf(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(99)f(2541)f(1)13f1132。答案：132考点四 函数性质的综合应用【典例4】(1)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，则满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围是_。(2)已知f(x)是定义在R上的函数，对任意xR都有f(x4)f(x)2f(2)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，且f(1)2，则f(2011)等于()A2 B3C2 D31,1)A解析：(1)f(x)的定义域为2,2，21m2
17、21m22，解得1m 3。又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1。综合可知，1m1。(2)由于函数f(x1)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x0对称，即函数f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，在f(x4)f(x)2f(2)中，令x2得f(2)f(2)2f(2)，所以f(2)0，于是f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期等于4，于是f(2011)f(1)f(1)2，故选A。悟技法1奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用这一结论可能把“
18、分散”在关于原点对称区间上的自变量的值转化到同一个区间上。以便“脱掉”对应法则“f”，这是解决奇偶性与单调性综合问题的关键。2函数的周期性起着自变量“由大变小”的作用，奇偶性起着自变量“正负互化”的作用，这两个作用是解决周期性与奇偶性综合问题的关键。通一类7设f(x)是周期为2的奇函数，当0 x1时，f(x)2x(1x)，则f52 等于()A12 B14C.14 D.12解析：f(x)是周期为2的奇函数，f52 f522 f12 f12212112 12。答案：A8已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_。解析：当x0时，令x24x5，解
19、得，0 x5。又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x2)5等价于5x25，即7x3；故解集为(7,3)。答案：(7,3)高考模拟1.(2015福建卷)下列函数为奇函数的是()Ay x By|sinx|CycosxDyexex解析：因为函数yx 的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数yx 为非奇非偶函数，排除A；因为y|sinx|为偶函数，所以排除B；因为ycosx为偶函数，所以排除C；因为yf(x)exex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选D。答案：D2(2016江西联考)设f(x)lg21xa 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()
20、A(1,0)B(0,1)C(，0)D(，0)(1，)解析：因为函数f(x)lg21xa为奇函数，且在x0处有定义，故f(0)0，即lg(2a)0，a1.故函数f(x)lg21x1 lg1x1x.令f(x)0得01x1x1，即x(1,0)。答案：A3(2016邹城模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1C1 D3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3。答案：D4(2016重庆一模)定义在R上的函数f
21、(x)满足f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且x(1,0)时，f(x)2x15，则f(log220)()A1 B.45C1 D45解析：log220(4,5)，log2204(0,1)，4log220(1,0)。又定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x)f(x4)，f(log220)f(log2204)f(4log220)x(1,0)时，f(x)2x15，f(4log220)24log22015242log220151620151，故f(log220)1，故选C。答案：C5(2015课标卷)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a_。解析：由题意得f(x)xln(xax2)f(x)xln(ax2 x)，所以 ax2x1ax2x，解得a1。答案：1
