1、滚动测试卷二(第一五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合A=xN|x-1|1,B=x|y=1-x2,则AB的子集个数为()A.1B.2C.4D.82.(2021广西玉林三模)已知复数z=4+3i1-i,其中i为虚数单位,则z+z=()A.iB.7iC.7D.13.(2021山东春季高考)已知向量a=cos512,sin512,b=cos12,sin12,那么ab等于()A.12B.32C.1D.04.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C.2D.5.(2021福建
2、厦门一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=log2(x+2)+t,则f(-6)=()A.-2B.2C.-4D.46.函数f(x)=3cosx-2+cos(-x)的单调递增区间为()A.-56+2k,6+2k,kZB.-23+2k,3+2k,kZC.-3+2k,23+2k,kZD.-6+2k,56+2k,kZ7.(2021广东深圳模拟)函数y=x23sin(x)log2|x|的图象大致为()8.(2021广西玉林二模)已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面上一点,满足PC(PA+PB)=0,则|PB|的最小值是()A.5-22B.2-12C.1D.7-329.设偶函数f
3、(x)对任意xR,都有f(x+3)=-1f(x),且当x-3,-2时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.110C.-10D.-11010.(2021山东滨州一模)棣莫弗公式r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n)(i为虚数单位,r0)是由法国数学家棣莫弗(16671754)发现的.根据棣莫弗公式,在复平面内复数2cos7+isin715对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=14,sinCsinA=2,且SABC=154,则b=()A.4B.3C.2D.112.
4、已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,不等式f(x)+xf(x)cbB.cabC.cbaD.bac二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tanx+4=-2,则sin 2x+2cos2x=.14.已知函数f(x)=-2ex,x0,lnx,x0(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x)的零点是.15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则
5、该三角形沙田外接圆的半径为米.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABAC=BABC=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan tan =16,求证:ab.18.(12分)某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+7t百万元.(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告
6、费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x(1x5)百万元,可增加的销售额约为12x2+4ln x百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)19.(12分)函数f(x)=Asin(x+)A0,0,012时,若对任意的x-1,+),均有f(x)a2(x2+1),求a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e2.718 28是自然对数的底数.(1)
7、求曲线y=f(x)在点(,f()处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.答案：1.C解析集合A=xN|x-1|1=0,1,2,B=x|y=1-x2=x|-1x1,AB=0,1.集合AB的子集个数为22=4,故选C.2.D解析因为z=4+3i1-i=(4+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=12+72i,所以z=12-72i,z+z=1.3.A解析a=cos512,sin512,b=cos12,sin12,ab=cos512cos12+sin512sin12=cos3=12.4.B解析由题意可知阴影区域的面积是S=-2
8、32cosxdx=-sinx|232=2.故选B.5.A解析f(x)是定义在R上的奇函数,又当x0时,f(x)=log2(x+2)+t,f(0)=log2(0+2)+t=0,t=-1.当x0时,f(x)=log2(x+2)-1,f(-6)=-f(6)=-log2(6+2)-1=-(log223-1)=-2.6.C解析f(x)=3cosx-2+cos(-x)=3sinx-cosx=2sinx-6,由-2+2kx-62+2k,kZ,得-3+2kx23+2k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为-3+2k,23+2k,kZ.7.B解析设f(x)=x23sin(x)log2|x|=3x2sin(x)lo
9、g2|x|,该函数的定义域为x|x0,f(-x)=3(-x)2sin(-x)log2|-x|=-3x2sin(x)log2|x|=-f(x),函数f(x)为奇函数,排除AC选项;当0x1时,0x0,则f(x)0,排除D选项.8.D解析设边AB的中点为D,则PA+PB=2PD.PC(PA+PB)=0,即为PCPD=0,则点P在以CD为直径的圆上,且|CD|=3,则半径r=32.设CD的中点为O,则|PB|的最小值为|OB|-r=12+322-32=7-32.9.B解析f(x+3)=-1f(x),f(x+6)=-1f(x+3)=-1-1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107
10、.5)=f(617+5.5)=f(5.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14(-2.5)=110.故选B.10.A解析由题意2cos7+isin715=215cos157+isin157=215cos157+215sin157i,对应点坐标为215cos157,215sin157,157是第一象限角,正弦、余弦都为正数,即对应点的横坐标和纵坐标均为正,点在第一象限.11.C解析由cosB=14,0B0时,不等式f(x)+xf(x)0时,g(x)0,函数g(x)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)在R上是奇函数
11、,g(x)在R上是减函数.a=30.2f(30.2),b=(log2)f(log2),c=log214flog214,log214=-2,而-2log2ba.故选C.13.45解析tanx+4=tanx+11-tanx=-2,tanx=3,则sin2x+2cos2x=2tanx+2tan2x+1=45.14.e解析令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x)的零点是e.15.4 062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,在ABC中,由余弦定理有cosB
12、=AB2+BC2-AC22ABBC=132+142-15221314=513,B为锐角,sinB=1-cos2B=1213,设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=750021213=4062.5米.16.2解析由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由ABAC=BABC,得cbcosA=cacosB.故由正弦定理,得sinBcosA=cosBsinA,即sin(B-A)=0.因为-B-A,所以B=A,从而b=a.由已知BABC=1,得accosB=1.故由余弦定理知aca2+c2-b22ac=1,即a2+c2-b2=2,故
13、c=2.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a(b-2c)=4cossin-8coscos+4sincos+8sinsin=4sin(+)-8cos(+)=0,因此tan(+)=2.(2)解由b+c=(sin+cos,4cos-4sin),得|b+c|=(sin+cos)2+(4cos-4sin)2=17-15sin242.又当=k-4(kZ)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由tantan=16,得16coscos=sinsin,故ab.18.解(1)设每年投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则由f(t)=(-t2+7t)-t=-t2+6t=-(t-3)
14、2+9(0t4).当t=3时,f(t)取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元,设由此增加的收益是g(x)百万元.则g(x)=12x2+4lnx+-(5-x)2+7(5-x)-5=-12x2+3x+4lnx+5.g(x)=-x+3+4x=-x2-3x-4x=-(x-4)(x+1)x,1x5.则当1x0;当4x5时,g(x)0.当x=4时,g(x)取得最大值.即4百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此增加的收益最大.19.解(1)由题图,知A=2,T4=3,则2=43,即=32.又f
15、-6=2sin32-6+=2sin-4+=0,sin-4=0.02,-4-40,所以tanA=3.又因为A(0,),所以A=3.选择:由cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A,得1-sin2C+sinBsinC=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为A(0,),所以A=3.选择:由2b=2acosC+c,结合正弦定理得2sinB=2sinAcosC+sinC.因为A+B+C=,所以sinB=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sinAco
16、sC+sinC,所以2cosAsinC=sinC.因为C(0,),所以sinC0,所以cosA=12.又因为A(0,),所以A=3.(2)在ABC中,由正弦定理得ACsinB=2R=2(R为ABC外接圆的半径),所以sinB=22,所以B=4因为A=3,由内角和定理,B不可能为34.在ABD中,由正弦定理、余弦定理建立方程组,得ADsinB=BDsinBAC2,cosB=BD2+AB2-AD22ABBD,ABsinC=2R,即AD22=BD12,22=BD2+AB2-AD22ABBD,AB6+24=2,解得AD=2,BD=1,AB=6+22,即AD=2.21.解(1)当a=1时,由f(x)=e
17、x-1=0,解得x=0.当x(0,+)时,f(x)0,故f(x)在区间(0,+)内单调递增;当x(-,0)时,f(x)12,故12-1.故当x-1,2a-1时,F(x)0,F(x)单调递增;当x2a-1,+时,F(x)0,F(x)单调递减.因此F(x)F2a-1=2ln2a-2+a+lna2=a-2-lna2.令函数g(a)=a-2-lna2,其中12a2,则g(a)=1-1a=a-1a=0,得a=1,故当a12,1时,g(a)0,g(a)单调递增.又g12=ln4-320,g(2)=0,故当12a2时,g(a)0恒成立,因此F(x)0恒成立,即当120时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当
18、x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h(x)=0得x1=lna,x2=0.()当0a1时,lna0,当x(-,lna)时,ex-elna0,h(x)单调递增;当x(lna,0)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=lna时h(x)取到极大值.极大值为h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,lna=0,所以当x
19、(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在区间(-,+)内单调递增,无极值;()当a1时,lna0,所以当x(-,0)时,ex-elna0,h(x)单调递增;当x(0,lna)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=lna时h(x)取到极小值,极小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.综上所述:当a0时,h(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+)内单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在区间(-,0)和(lna,+)内单调递增,在(0,lna)内单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.
