1、2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_，那么，这个方程叫做_，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)0
2、的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)0C.坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M
3、(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.【解析】设P(x，y)，MPN为直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216，即x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24(x2).【答案】x2y24(x2)对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程xy0之间的关系. 【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方
4、程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足xy0，反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是xy0.1.分析
5、此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.1.已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值.【解】(1)因为12(21)210，()2(31)2610，所以点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，
6、点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上.(2)因为点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，所以x，ym适合方程x2(y1)210，即(m1)210.解得m2或m.故实数m的值为2或.由方程研究曲线下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)2x2y24x2y30；(3)(x2)20.【精彩点拨】(1)方程(xy1)0中“xy1”与“”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax2By2CxDyE0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】(1)由方程(xy1)0可得或x10，即xy10(x1)或x1.故方程表示一条射线xy10
7、(x1)和一条直线x1.(2)对方程左边配方得2(x1)2(y1)20.2(x1)20，(y1)20，解得从而方程表示的图形是一个点(1，1).(3)由(x2)20，得或因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.2.方程xy2x2y2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于xy0对称
8、【解析】同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】C求曲线的方程探究1求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲
9、线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在RtABC中，斜边长是定长2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程. 【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2|BC|2|AB|2，所以()
10、2()24a2，整理得x2y2a2.由于当xa时，点C与A或B重合，故xa.所以所求的点C的轨迹方程为x2y2a2(xa).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.3.已知一曲线在
11、x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MBx轴，B为垂足，则点M属于集合PM|MA|MB|2.由距离公式，点M适合的条件可表示为y2.化简得x28y.曲线在x轴上方，y0.(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.所求曲线的方程为x28y(y0).1.已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于
12、2130，(23)2(12)22，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】B2.在直角坐标系中，方程|x|y1的曲线是()【解析】当x0时，方程为xy1，y0，故在第一象限有一支图象；当x0时，方程为xy1，y0，故在第二象限有一支图象.【答案】C3.已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满足4，则点P的轨迹方程为_.【解析】设点P的坐标为P(x，y)，由(2x，y)(2x，y)x24y24，得x2y28，则点P的轨迹方程为x2y28.【答案】x2y284.设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，连接CP，则CPOQ.OC的中点为M，连接MP，则|MP|OC|，得方程y2.由圆的范围，知0x1.即所求弦中点的轨迹方程为y2，0x1.法二：如图所示，由垂径定理，知OPC90，所以动点P在以M为圆心，OC为直径的圆上.由圆的方程，得y2，由圆的范围，知0x1.即所求弦中点的轨迹方程为y2，0x1.
