1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案在生活中，我们常常会遇到这样一些判断：人生病要吃药，小明生病了，因此，小明要吃药；摩擦生热，冬天双手互相摩擦，手就不冷了；任意四边形的内角和为 360，梯形是四边形，因此梯形的内角和是 360，这些推理都是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的，与前一节所学的合情推理不同，这属于另一种推理演绎推理1演绎推理从_出发，推出_情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_的推理2演绎推理与合情推理的主要区别
2、与联系(1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由_到_、_到_的推理，类比是由_到_的推理；而演绎推理是由_到_的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊(2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想3三段论(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的_；小前提
3、所研究的_；结论根据一般原理，对特殊情况做出的_.其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结 论：_.(2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_.一般原理 特殊情况 判断 S是P S中所有元素也都具有性质P 4其他演绎推理形式(1)假言推理：“若 pq，p 真，则 q 真”(2)关系推理：“若 aRb，bRc，则 aRc”R 表示一种传递性关系，如 ab，bcac，ab，bcac 等注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面(3)完全归纳推理是把所有可能的情况都
4、考虑在内的演绎推理规则A1关于下面推理结论的错误：“因为对数函数 ylogax 是增函数(大前提)，又ylog12x 是对数函数(小前提)，所以 ylog12x 是增函数(结论)”下列说法正确的是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提都错误导致结论错误解析 大前提错误，因为对数函数 ylogax(0a1)是减函数，故选 A2“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”上述推理是()A完全正确B推理形式不正确C错误，因为大小前提不一致D错误，因为大前提错误A3给出下列结论：演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真演绎
5、推理的特征为，前提为真时，结论可能为真由合情推理得到的结论一定为真演绎推理和合情推理都可以用于证明合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明其中正确结论的序号为_.互动探究学案将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论(1)函数f(x)x4的图象关于y轴对称；(2)所有的奇数都不能被4整除，所以23不能被4整除；(3)通项公式为an3n1的数列an是等差数列思路分析 分析各个命题，明确它们的大前提、小前提、结论，若有省略，则应补齐，然后再改写为三段论模式命题方向1 三段论推理模式的理解与应用典例 1解析(1)所有偶函数的图象关于y轴对称，大前提函数f(x)x4是偶函数，小前
6、提所以函数f(x)x4的图象关于y轴对称结论(2)所有的奇数都不能被4整除，大前提23是奇数，小前提所以23不能被4整除结论(3)在数列an中，如果当n2时，anan1为同一个常数，那么an为等差数列，大前提通项公式为an3n1的数列an中，当n2时，anan13n13(n1)13为常数，小前提所以通项公式为an3n1的数列an是等差数列结论规律总结 用三段论写演绎推理的过程时，关键是明确其中的大前提、小前提、结论，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不写的；小前提指出了一种特殊情况，有时也是省略的，大小前提结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，得到结论跟踪练习1将下列演绎推理改写
7、为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论(1)直角三角形的内角和等于180；(2)三角函数是周期函数，ytanx是三角函数，所以ytanx是周期函数；(3)在数列an中，an34n，则数列an是等比数列解析(1)因为所有三角形的内角和都等于 180，大前提直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形的内角和等于 180.结论(2)因为所有三角函数都是周期函数，大前提ytanx 是三角函数，小前提所以 ytanx 是周期函数结论(3)如果在数列an中，an1an q(q 是与 n 无关的常数)，那么an是等比数列，大前提数列an当 an34n 时，an1an 4，小前提所以数列an是等比数列结
8、论已知平面平面，直线l，lA，如图所示，求证：l.命题方向2 演绎推理在几何证明中的应用典例 2思路分析 本题可由线面垂直的定义证明 l.解析 在平面 内任取一条直线 b，平面 是经过点 A 与直线 b 的平面设 a.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提，且 a，b，小前提所以 ab.结论如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提l，a，小前提所以la.结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提ab，且la，小前提所以lb.结论 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂
9、直，大前提因为lb，且直线b是平面内的任意一条直线，小前提所以l.结论规律总结 在几何推理过程中，多数情况采用的都是三段论推理模式，其中大前提通常是：两个三角形全等、相似的判定定理，线面平行与垂直的判定定理、性质定理，面面平行与垂直的判定定理、性质定理等，因此都可以省略不写.跟踪练习2用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提如图所示，在锐角ABC中，ADBC，BEAC，D，E是垂足证明：AB的中点M到D、E的距离相等证明(1)有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABC 中，ADBC，即ADB90，小前提ABD 是直角三角形结论同理，AEB 也是直角三角形(2)直角三角形斜边上的
10、中线等于斜边的一半，大前提而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，小前提DM12AB结论同理，EM12ABDMEM.用三段论证明代数题典例 3mf(n)，则 m，n 的大小关系是_.解析 当 0af(n)，得 m0，f(x)exaaex是 R 上的偶函数(1)求 a 的值；(2)证明：f(x)在(0，)上为增函数解析(1)因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以对一切 xR，都有 f(x)f(x)，即exaaexexa aex 1aexaex，整理得(1aa)(ex1ex)0 对一切 xR 恒成立因 ex1ex不恒为 0，故1aa0，所以 a1.又 a0，所以 a1.(
11、2)任取 x1，x2(0，)且 x10，x20 且 x10，x1x20，所以 e x2x11,1ex2+x10，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故 f(x)在(0，)上是增函数三段论推理中大(小)前提错误致误 典例 4 如图，已知 S 为ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC求证：ABBC错因分析 在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误正解 证明：如图，过点 A 作直线 AESB 于点 E，因为平面 S
12、AB平面 SBC，且交线为 SB，所以 AE平面 SBC又 BC平面SBC，所以 BCAE.因为 SA平面 ABC，所以 SABC又 AESAA，所以 BC平面 SAB所以 BCAB，即 ABBC点评 演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论1“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四
13、边形B2(2019秦州区校级三模)下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b平面，直线a平面；所以直线b直线a，在这个推理中()A大前提正确，结论错误B小前提与结论都是错误的C大、小前提正确，只有结论错误D大前提错误，结论错误解析 直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直故大前提错误，结论错误故选DD3(2019天心区校级期末)由正方形的四个内角相等；矩形的四个内角相等；正方形是矩形写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为()A BCD解析 用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提 矩形的四个内角相等小前提 正方形是矩形结论 正方形的四个内角相等故选DD课时作业学案
