1、章末分层突破由部分到整体，由个别到一般类比推理演绎推理由一般到特殊综合法执果索因反证法数学归纳法合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1，1，1，由此可归纳出的式子为()A.1B.1C.1D.1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sinsin0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_.【精彩点拨】(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得.(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论.【规范解答】(1)由各式特点，可得10，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明.【精彩
2、点拨】(1)综合法：根据ab1，分别求与的最小值.(2)分析法：把变形为求证.【规范解答】法一：(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(当且仅当ab时等号成立).法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立.2.(1)已知a，b，c为互不相等的非负数.求证：a2b2c2().(2)用分析法证明：2cos().【解】(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abb
3、cac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2().(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论.反证法的思路：反设归谬结论.设an是公比为q的等比数列.(1)推导an
4、的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论.【规范解答】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾.假
5、设不成立，故an1不是等比数列.3.已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小.【解】(1)证明：f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根.又x1x2，x2，是f(x)0的一个根.(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c.又c，c.数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.2.关注点二：由nk到nk1时
6、，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.已知正数数列an(nN)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an. 【导学号：94210027】【规范解答】(1)当n1时，a1S1，所以a1(an0)，所以a11，又1，所以n1时，结论成立.(2)假设nk(k1，kN)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak110，解得ak1(an0)，所以nk1时，结论成立.由(1)(2)可知，对nN都有an.4.设数列an的前n项和Sn(nN)，a22.(1)求an的前三项a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式
7、，并证明.【解】(1)由Sn，得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.证明如下：当n1时，猜想成立.假设当nk(k2)时，猜想成立，即akk，那么当nk1时，ak1Sk1Sk.所以ak1k1，所以当nk1时，猜想也成立.根据知，对任意nN，都有ann.转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化.设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根.【精彩点拨】假设方程f(x)0有
8、整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾.【规范解答】假设方程f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都为奇数，ab必为偶数，ak2bk为奇数.当k为偶数时，令k2n(nZ)，则ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数，与ak2bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2bk为奇数矛盾.综上可知，方程f(x)0无整数根.5.用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除.【证明】设n2m1，mN，则xnynx2m1y2m1.要证明原命题成立，只需证明x2m1
9、y2m1能被xy整除(mN).(1)当m1时，x2m1y2m1xy能被xy整除.(2)假设当mk(kN)时命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除，那么当mk1时，x2(k1)1y2(k1)1x2k21y2k21x2k1x2x2k1y2y2k1y2x2k1y2x2k1(x2y2)y2(x2k1y2k1)x2k1(xy)(xy)y2(x2k1y2k1).因为x2k1(xy)(xy)与y2(x2k1y2k1)均能被xy整除，所以当mk1时，命题成立.由(1)(2)，知原命题成立.1.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊
10、.学生序号12345立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.7830秒跳绳(单位：次)63a756063学生序号678910立定跳远(单位：米)1.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)7270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛.由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a60时，a10，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2b2不可能同时成立.5.设函数f(x)x3，x.证明：(1)f(x)1xx2；(2)，所以f(x).综上，f(x).
