1、考点规范练66坐标系与参数方程基础巩固1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解:(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cos0时,l的普通方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设
2、为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.2.(2020湖北武汉模拟)已知曲线C1的参数方程为x=1+t21-t2,y=2t1-t2(t为参数),曲线C2的参数方程为x=2+2cos,y=2sin(为参数),以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)射线=6与曲线C1和曲线C2分别交于M,N,已知点Q(4,0),求QMN的面积.解:(1)由曲线C1的参数方程得x2-y2=1+t21-t22-2t1-t22=1+t4-2t2(1-t
3、2)2=(1-t2)2(1-t2)2=1,即曲线C1的直角坐标方程为x2-y2=1(x-1).化为极坐标方程为2cos2=1().由曲线C2的参数方程可得(x-2)2+y2=(2cos)2+(2sin)2=4,化为极坐标方程为(cos-2)2+2sin2=4,即=4cos.(2)设M1,6,N2,6,可得|MN|=|1-2|=4cos6-1cos26=23-2,dQMN=sin64=2,SQMN=122(23-2)=23-2.3.(2020全国,理22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,
4、C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.解:(1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4,得x=52,y=32,所以P的直角坐标为52,32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-522+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k
5、|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2
6、只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为c
7、os+4=22.(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0,0,x1+x2=6,x1x2=1,x0=x1+x22=3,y0=2.线段AB的中垂线的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).y2=4x.将代入中,得t2+82t-16=0,t1t
8、2=-16.|PE|PF|=|t1t2|=16.能力提升6.(2020山西运城模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+tcos,y=-3+tsin(或t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(cos +3sin )=1.(1)当t为参数,=56时,判断曲线C与直线l的位置关系;(2)当为参数,t=2时,直线l与曲线C交于A,B两点,设P(1,0),求1|PA|+1|PB|的值.解:(1)当t为参数,=56时,曲线C的参数方程为x=1+tcos56,y=-3+tsin56,化简得x=1-32t,y=-3+12t,消掉参数得y=-33x-233
9、.因为直线l的极坐标方程为(cos+3sin)=1,化为直角坐标方程为y=-33x+33,曲线C与直线l斜率相等,截距不相等,所以它们平行.(2)当为参数,t=2时,曲线C的参数方程为x=1+2cos,y=-3+2sin,化为普通方程得(x-1)2+(y+3)=4,由(1)知直线l的斜率为-33,直线l过点P(1,0),所以直线l的倾斜角为150,所以直线l的参数方程为x=1+tcos150,y=tsin150(t为参数),即x=1-33t,y=12t(t为参数).联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得t2+3t-1=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以t1+t2=-3,t1t2
10、=-1,所以1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t2|+|t1|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=7.7.已知直线C1:x=1+tcos,y=tsin(t为参数),圆C2:x=cos,y=sin(为参数).(1)当=3时,求C1被C2截得的线段的长;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当变化时,求A点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当=3时,C1的普通方程为y=3(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与12,-32.故C1被C2截
11、得的线段的长为1-122+0+322=1.(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcos=0,设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则点A对应的参数t=t1+t22=-cos,故点A的坐标为(sin2,-cossin).故当变化时,A点轨迹的参数方程为x=sin2,y=-sincos(为参数).因此,A点轨迹的普通方程为x-122+y2=14.故A点的轨迹是以12,0为圆心,半径为12的圆.高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin2=acos (a0),过点P(-2,-4)的
12、直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|PB|=|AB|2,求a的值.解:(1)sin2=acos(a0),2sin2=acos(a0),即y2=ax(a0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a0)中,得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2(a+8),t1t2=4(a+8).|PA|PB|=|AB|2,t1t2=(t1-t2)2.(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即2(8+a)2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),a的值为2.
