1、12.3 简单复合函数的导数对应学生用书P11已知函数f(x)sin，g(x)(3x2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题2：试说明g(x)(3x2)2是如何复合的？提示：函数g(x)(3x2)2是由 g(u)u2，u3x2复合而成的问题3：试求g(x)(3x2)2，g(u)u2，u3x2的导数提示：g(x)(3x2)29x212x418x12.g(u)2u，u3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g(x)g(u)u.若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.1求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量2利用复合关系求导前，若函数关系可以
2、化简，则先化简再求导会更简单3判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数复合函数的求导例1求下列函数的导数(1)y；(2)ye0.05x1；(3)ycos(x)(其中、为常数)；(4)ylog2(53x)思路点拨先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解精解详析(1)y(2x3)是函数yu，u2x3的复合函数，所以yxyuux(u)(2x3)u23u3(2x3).(2)ye0.
3、05x1是函数yeu，u0.05x1的复合函数，所以yxyuux(eu)(0.05x1)0.05eu0.05e0.05x1.(3)ycos(x)是ycos u，ux的复合函数，所以yxyuux(cos u)(x)sin usin(x)(4)ylog2(53x)是ylog2u，u53x的复合函数，所以yxyuux(log2u)(53x)3.一点通对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量1若函数f(x)ln，则f(x)_.解析：f(x)ln是f(u)ln u与u的
4、复合函数，所以yxyuux(ln u).答案：2函数ysin3xsin x3的导数为_解析：y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.答案：3sin2xcos x3x2cos x33求下列函数的导数：(1)ye2x23x；(2)y.解：(1)yeu，u2x23x，所以yxyuuxeu(2x23x)eu(4x3)(4x3)e2x23x.(2)y(13x)4，可设yu4，u13x，yu4u5，ux3，yxyuux4u5(3)12(13x)5.求导法则的综合应用例2求下列函数的导数(1)y31xsin(
5、2x1)；(2)y.思路点拨根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解精解详析(1)y(31x)sin(2x1)31xsin(2x1)31xln 3sin(2x1)31x2cos(2x1)31x2cos(2x1)sin(2x1)ln 3(2)y .一点通(1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的4若函数f(x)xcos 2x，则f(x)_.解析：f(x)xcos 2xx(cos 2x)cos 2x
6、2xsin 2x.答案：cos 2x2xsin 2x5求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin2(1x)解：(1)y .(2)ysin2(1x)1cos(22x)cos(22x)cos(2x2)ysin(2x2)复合函数导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值思路点拨.精解详析f(x)a(x2)2(2x)2ax，f(1)2a2，又f(1)a2ln 1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即2(a1)xya20.直线l与圆C：x2y2 相切，圆心(0,0)到直线l的距离为，所以有，解得a.
7、a的值为.一点通有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用6函数ycos 2x在点处的切线方程是_解析：y2sin 2x，k2sin2.切线方程为y02，即2xy0.答案：2xy07求yln(2x3)的导数，并求在点处切线的倾斜角解：令yln u，u2x3，则yxyuux(ln u)(2x3)2.当x时，y1，即在处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.8设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析
8、式解：yex，y(ex)ex，y|xtet.故切线方程为yetet(xt)，即xety(t1)0.(2)令y0得xt1.令x0得yet(t1)S(t)(t1)et(t1)(t1)2et(t0)求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，
9、树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的对应课时跟踪训练(五)一、填空题1设函数f(x)sin(4x2)，则f(x)_.解析：f(x)sin(4x2)，f(x)sin(4x2)4cos(4x2)答案：4cos(4x2)2(全国大纲卷改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_解析：yex1xex1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y|x12.答案：23设曲线yf(x)eax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：切线与直线x2y10垂直，切线的斜率k2.又f(x)(eax)aeax，kf(0)a2.答案：24函数yxsincos的导数为
10、_解析：yxsincossin(4x)sin 4x，ysin 4x(sin 4x)sin 4x2xcos 4x.答案：sin 4x2xcos 4x5已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：设切点为(x0，y0)，则y0x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)对yln(xa)求导得y，则1，x0a1，由可得x01，所以a2.答案：2二、解答题6求下列函数的导数(1)y5log2(2x1)；(2)ycos(7x)；(3)y(2x1)5.解：(1)设ylog2u，u2x1.则yyuux2.(2)设ycos u，u7x.则yyuuxsin u(7)7sin.(3)设yu
11、5，u2x1，则yyuux5u4210u410(2x1)4.7已知函数f(x)ln(1x)xx2.求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：f(x)12x.由于f(1)ln 2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln 2(x1)，即3x2y2ln 230.8已知A(1，f(x)是函数yf(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为(x，ln(2x)，向量a(1,1)，设f(x)ABa，试求函数yf(x)的表达式解：AB(x，ln(2x)(1，f(1)(x1，ln(2x)f(1)，a(1,1)，f(x)ABax1ln(2x)f(1)ln(2x)xf(1)1f(x)(2x)11，f(1)0，f(x)ln(2x)x1.
