1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点对于连续函数，有类似的性质“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小1 如 图 是 函 数 y f(x)的 图 象，在 x a 邻 近 的 左 侧 f
2、(x)单 调 递 增，f(x)_0，右侧f(x)单调递减，f(x)_0，在xa邻近的函数值都比f(a)小，且f(a)_0.在xb邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有_，(e，f(e)，与b类似的点还有_.(c，f(c)(d，f(d)我们把点a叫做函数f(x)的极_值点，f(a)是函数的一个极_值；把点b叫做函数f(x)的极_值点，f(b)是函数的一个极_值大大小小2一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个
3、_.极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_.f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点1下列四个函数：yx3；yx21；y|x|；y2x.在x0处取得极小值的函数是()A BCD解析 yx3在R上单调递增，无极值；yx21在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故正确；y|x|在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故正确；y2x在R上单调递增，故不正确选BBC2(2019银川三模)已知函数 f(x)cosxalnx 在 x6处取得极值，则 a()A14B4C 12D 12解析 f(x)cosxalnx，f(x)sinxax，f(x)在 x6处取得极值，f(6)12a60，
4、解得：a 12，经检验符合题意，故选 C3已知 f(x)13x3a2x22x1，x1，x2 是 f(x)的两个极值点，且 0 x11x23，则实数 a 的取值范围为_.(3，113)解析 f(x)x2ax2，x1，x2 是 f(x)0 的两个根，由 0 x11x20，f11a20.解得 3a113.4求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)x2ex.解析(1)函数 f(x)的定义域为 R.f(x)3x2123(x2)(x2)令 f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值 f(2)1
5、6极小值 f(2)16 从表中可以看出，当 x2 时，函数有极大值 16.当 x2 时，函数有极小值16.(2)函数的定义域为 R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值 0 极大值 4e2 由上表可以看出，当 x0 时，函数有极小值，且 f(0)0；当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)4e2.互动探究学案求函数y3x3x1的极值思路分析 首先对函数求导，然后求方程y0的根，再检查y在方程根左、右两侧的值的符号如果左正右负，那么y在这个根处取得极
6、大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值命题方向1 利用导数求函数的极值典例 1解析 y9x21，令 y0，解得 x113，x213.当 x 变化时，y和 y 的变化情况如下表：x(，13)13(13，13)13(13，)y00y单调递增极大值119 单调递减 极小值79 单调递增因此，当 x13时，y 有极大值，并且 y 极大值119.而当 x13时，y 有极小值，并且 y 极小值79.规律总结 利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解方程f(x)0得方程的根(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号
7、(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.跟踪练习 1(1)(2019武汉高二检测)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1 B2C3 D4A(2)(2019昆明高二检测)在等比数列an中，a3，a7 是函数 f(x)13x34x29x1的极值点，则 a5()A4 B3C3 D4B解析(1)由图象可知，满足 f(x)0 且导函数函数值左负右正的只有一个，故 f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个(2)因为 f(x)13x
8、34x29x1，所以由 f(x)x28x90 可知 a3a79，a3a78，因为等比数列中 a25a3a7 且 a30，所以 a53.已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值思路分析 本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f(x)0的两个根且在根x1处f(x)取值左、右异号命题方向2 求参数的值或取值范围问题典例 2解析 f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0 应有根 x1，故 5a3b，于是 f(x)5ax2(x21)(1)当 a0 时，x 变化时，y、y的变化情况如下表：x(，1)1(1
9、,0)0(0,1)1(1，)y000y 极大值 无极值 极小值 由表可知：4f1abc，0f1abc.又 5a3b，解之得：a3，b5，c2.(2)当 a0 时，同理可得 a3，b5，c2.综上，a3，b5，c2 或 a3，b5，c2.规律总结 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性跟踪练习 2已知函数 f(x)axaex(aR，a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，
10、求实数 a 的取值范围解析(1)当 a1 时，f(x)x1ex，f(x)x2ex.由 f(x)0，得 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值 所以函数 f(x)的极小值为 f(2)1e2，函数 f(x)无极大值(2)F(x)f(x)aexaxaexe2xax2ex.当 a0，解得 ae2，所以此时e2a0 时，F(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0F(x)极大值 当 x2 时，F(x)ax1ex11，当 x2 时，令 F(x)ax1ex10，即 a(x1)ex0，由于 a(x1)exa(x1)e2，令
11、a(x1)e20，得 x1e2a，即 x1e2a时，F(x)0与f(x)0的x的取值范围，并区分f(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断命题方向3 图象信息问题典例 3解析 由 f(x)的图象可见在，32 和(2,4)上 f(x)0，f(x)单调增，只有正确规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解.跟踪练习 3已知函数 yxf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导
12、函数)，给出以下说法：函数 f(x)在区间(1，)内是增函数；函数 f(x)在 x1 处取得极大值；函数 f(x)在 x12处取得极大值；函数 f(x)在 x1 处取得极小值，其中正确的说法有_.(填所有正确的序号)解析 从图象上可以发现，当x(1，)时，xf(x)0，于是f(x)0，故f(x)在区间(1，)内是增函数，正确；当x(，1)时，xf(x)0，当x(1,0)时，xf(x)0，所以f(x)0，故函数f(x)在x1处取得极大值，正确；当x(1,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(1,1)内是减函数，错；当x(0,1)时，xf(x)0，于是f(x)0，故f(x)在区间(0,1)内
13、是减函数，而在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，正确在函数的综合问题中，涉及方程的根的个数时，常以函数极值为工具，并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围有关函数极值的综合应用典例 4 已知函数 f(x)x33ax1，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极大值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，当 a0，当 a0 时，由 f(x)0 解得 x a；由 f(x)0 解得 ax0 时，f(x)的单调增区间为(，a)，(a，)；f(x
14、)的单调减区间为(a，a)(2)f(x)在x1处取得极大值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)规律总结 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决跟踪练习4设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值
15、时，曲线f(x)与x轴有且只有一个交点？解析(1)f(x)3x22x1.令 f(x)0，则 x13或 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，13)13(13，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值 极小值 所以 f(x)的极大值是 f(13)527a，极小值是 f(1)a1.(2)函数 f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x 取足够大的正数时，有 f(x)0，x 取足够小的负数时，有 f(x)0，所以曲线 yf(x)与 x 轴至少有一个交点综合 f(x)的单调性可知，当 f(x)的极大值 527a0，即 a(1，)时，它的极大值也大于 0，因此曲线
16、 yf(x)与 x 轴也仅有一个交点，它在(，13)上所以当 a(，527)(1，)时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点 已知函数f(x)x36mx24nx8m2在x2处取得极值，且极值为0，求m4n的值错因分解 可导函数的极值点一定是导数为零的点在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号忽视极值存在的条件致误典例 5正解 f(x)3x212mx4n，依题意有f 20，f20，即1224m4n0，824m8n8m20，解得m1，n3或m2，n9.当 m1，n3 时，f(x)3x212x123(x2)20，所以 f(x)在 R 上单调递增，无极值，不符合题意；
17、当m2，n9时，f(x)3x224x363(x2)(x6)，当6x2时f(x)2时f(x)0，故f(x)在x2处取得极值，符合题意综上所述，m2，n9，所以m4n38.点评 由于“f(x0)0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f(x0)0求得m，n的值后，要验证在xx0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C解析 f(x)的符号由
18、正变负，则 f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值由图象易知有两个极大值点，两个极小值点A2已知函数 f(x)x3px2qx 的图象与 x 轴切于点(1,0)，则 f(x)的极值为()A极大值为 427，极小值为 0B极大值为 0，极小值为 427C极小值为 427，极大值为 0D极大值为 427，极小值为 0解析 f(x)3x22pxq，由f10，f10，得p2，q1.f(x)3x24x1.令 f(x)0 得 x13或 x1，易得 x13时，f(x)有极大值 427，x1 时，f(x)有极小值 0.3(2019海南二模)若 x1 是函数 f(x)x3ax的一个极值点，则实数 a_.3解析 函数 f(x)x3ax，f(x)3x2ax2，x1 是函数 f(x)的一个极值点，f(1)0，即 3a0，a3.故答案为 3.4(2018全国卷文，21(1)已知函数f(x)aexln x1.设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1x.由题设知，f(2)0，所以 a 12e2.从而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x.当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增课时作业学案
