1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线yx2的准线方程是()AxBy2Cy Dy2【解析】将yx2化为标准形式为x28y，故准线方程为y2.【答案】B2下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21Cx21 D.y21【解析】法一：由渐近线方程为y2x，可得x，所以双曲线的标准方程可以为x21.法二：A中的渐近线方程为y2x；B中的渐近线方程为yx；C中的渐近线方程为yx；D中的渐近线方程为yx.故选A.【答案】A3若双曲线1的一条渐近线经过点(
2、3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.【解析】由双曲线的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.【答案】D4抛物线y2x关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是() 【导学号：25650092】A(1,0) B.C(0,1) D.【解析】y2x的焦点坐标为，关于直线yx对称后抛物线的焦点为.【答案】B5设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2B3 C4D6【解析】设P(x0，y0)，又F1(2,0)，F2(2,0)，(2x0，y0)，(2x0，y0)|F1F2|4.SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|
3、1.又y1，x3(y1)6，xy46143.【答案】B6有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A2p B4pC6p D8p【解析】设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则AOx30，则OA的方程为yx.由得y2p，AOB的边长为4p.【答案】B7已知|A|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OOO，则动点P的轨迹方程是() 【导学号：25650093】A.y21 Bx21C.y21 Dx21【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，
4、所以x0x，y03y.因为|A|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.【答案】A8AB为过椭圆1(ab0)的中心的弦F1为一个焦点，则ABF1的最大面积是(c为半焦距)()Aac BabCbc Db2【解析】ABF1的面积为c|yA|，因此当|yA|最大，即|yA|b时，面积最大故选C.【答案】C9若F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.C. D.【解析】|F1F2|2，|AF1|AF2|6，则|AF2|6|AF1|，|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24
5、|AF1|8，即(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8，解得|AF1|，所以S2.【答案】B10设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A BC1 D【解析】由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1.【答案】C11过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积是()A3 B2C. D.【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又
6、|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.【答案】D12已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22【解析】由题意，知a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，
7、直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2，故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.【答案】14设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为_【解析】由题意知|F1F2|24，设P点坐标为(x，y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.【答案】15.如图1，已知抛物线y22px(p0)的焦点恰好是椭圆1的右焦点F，且两
8、条曲线的交点连线也经过焦点F，则该椭圆的离心率为_. 【导学号：25650094】图1【解析】由条件知，c，其中一个交点坐标为(c,2c)，1，e46e210，解得e232，e(1)又0e0)点P(3,4)在椭圆上，则1，得a240，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为yx，即43，得b216.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.18(本小题满分12分)已知直线l：yxm与抛物线y28x交于A，B两点，(1)若|AB|10，求m的值；(2)若OAOB，求m的值【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)x2(2m8)xm20|AB|x1x2| 10，得m，m2，m.(2)OAOB，x1x2
9、y1y20.x1x2(x1m)(x2m)0，2x1x2m(x1x2)m20，2m2m(82m)m20，m28m0，m0或m8.经检验m8.19(本小题满分12分)已知双曲线过点P，它的渐近线方程为yx.(1)求双曲线的标准方程；(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|PF2|41，求F1PF2的余弦值【解】(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为3的点P的纵坐标的绝对值为4.44，双曲线的焦点在x轴上，设方程为1.双曲线过点P(3，4)，1.又，由，得a29，b216，所求的双曲线方程为1.(2)设|PF1|d1，|PF2|d2，则d1d241
10、.又由双曲线的几何性质知，|d1d2|2a6.由余弦定理，得cosF1PF2.20(本小题满分12分)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.【解】(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.21(本小题满分12分)已
11、知椭圆C：1(ab0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2xy0的对称点P在圆O：x2y24上，求椭圆C的方程及点P的坐标【解】(1)由点F(ae,0)，点A(0，b)，及ba，得直线FA的方程为1，即xeyae0.因为原点O到直线FA的距离为bae，所以aae，解得e.(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2xy0的对称点为P(x0，y0)，则有解得x0a，y0a.因为P在圆x2y24上，所以224.所以a28，b2(1e2)a24.故椭圆C的方程为1，点P的坐标为.22(本小题满分12分)已知经过点A(4,0)的动直线l
12、与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C，当直线l的斜率是时，AA.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围. 【导学号：25650095】【解】(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，当kl时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，所以又因为AA，所以y2y1或y14y2.由p0得：y14，y21，p2，即抛物线方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0.所以x02k，y0k(x04)2k24k.所以BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，所以BC的中垂线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程由16k264k0得k0或k4.所以b(2，)
