1、北海中学2020年秋季学期12月月考试卷文科数学本卷满分： 150 分，考试时间： 120 分钟.第I卷（选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，再按集合交集的概念进行计算.【详解】由，得，.，.故选：C2. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据向量求模长公式，化简后直接求值即可得解.【详解】法一：，.法二：，.故选：C.【点睛】本题考查了复数求模长公式，考查了复数的
2、四则运算，属于基础题.3. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出【详解】解：36.故选：【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力4. 若变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，结合图形分析最优解，从而求出最小值.【详解】画出可行域，向上平移基准直线,可得最优解为，由此求得目标函数的最小值为， 故选:C【点睛】本题考查了线性规划求最值，属于基础题.5. 某5个数据的均值为10，方差为2，若去掉其中一个数据10后
3、，剩下4个数据的均值为，方差为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】设原数据的均值和方差分别为，由题得，再求出再求出即得解.【详解】设原数据的均值和方差分别为，设10是第5个数据，所以.由题得由题得，所以，所以故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到，再求出，由直线方程的点斜式即可得出答案详解】解：由题可知，则，又，函数的图象在点处的切线方程，即为在点处的切线方程是，即.故选：C.7. 一个四棱锥的三视图如图所示
4、，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可【详解】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：所以表面积为 所以选B【点睛】本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题8. 过点的圆的切线方程是（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径为1，由题意，易知所求切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，即，所以有，整理得，
5、解得，或；因此，所求直线方程分别为：或，整理得或.故选D【点睛】本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.9. 若是的一个内角，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.10. 已知双曲线E：（，）的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）.若，则双曲线E的离心率为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由为直径，点M在圆上，得，再由，可得到，所以，由此可计算出
6、双曲线的离心率.【详解】因为为直径，点M在圆上，所以.又，由圆的对称性，有，所以.由渐近线斜率，所以离心率为.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线及其性质的应用，属于基础题.11. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，由是面积为的等边三角形，可得，再由球的体积为，求出球的半径，而，再利用勾股定理可求出结果【详解】由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，可得：，球的体积，解得，所以到平面的距离为：.故选：C.【点睛】此题考查球截面性质，考查空间想象能力和计算能力，属于基础
7、题12. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说正确的是（）A. 在上是减函数B. 其函数图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在上的值域是【答案】AD【解析】【分析】利用辅助角公式得出，由已知条件求得的值，再利用函数图象变换求得函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】，由于函数的零点构成一个公差为的等差数列，则该函数的最小正周期为，则，所以，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象.对于A选项，当时，则函数在上是减函数，A选项正确；对于B选项，所以，函数图象不关于直线对称，B选项错误；对于C选
8、项，函数的定义域为，函数为奇函数，C选项错误；对于D选项，当时，则，.所以，函数在区间上的值域为，D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性、奇偶性以及值域的判断，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.第II卷（非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，向量，则与夹角大小为_.【答案】150.【解析】【分析】由平面向量的数量积公式得，再由数量积的坐标形式计算求解出，即可求出与的夹角.【详解】由平面向量的数量积公式得，则，所以与的夹角为150.故答案为：150【点睛】本题主要考查平面向量的数量
9、积的坐标运算和由数量积求向量的夹角，考查学生运算求解能力，属于基础题.14. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2xlg 8yxlg23ylg 2lg 2，x3y1，(x3y)24，当且仅当x，y时取等号15. 已知为数列的前项和，若，则_.【答案】32【解析】【分析】由结合题意可得，再利用即可得解.【详解】当时，解得；当时，整理得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：32.【点睛】本题考查了与关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.16. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】.【解析】分析：先结合三次函数图象确
10、定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可
11、求解；（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求，从而可求面积的最大值【详解】（1）由正弦定理，得， ，（2），当且仅当“”时取“”【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用余弦定理和基本不等式求面积的最大值，属于中档题.18. 2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的
12、22列联表特别满意基本满意男8020女955（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？附： 【答案】（1）（2）有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异【解析】【分析】（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人记为，列出所有的基本事件情况和满足3人中至多1人特别满意的情况即可（2）算出即可【详解】（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人为则任取3人的基本事件为：，共10种其中3人中至多1人特别满意的事件有：，
13、共7种所以至多1人特别满意的概率为（2）则有99%把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异【点睛】本题考查的是古典概型及独立性检验，属于基础题.19. 如图所示，在三棱锥中，平面，、分别为线段、上的点，且，.（）求证：平面；（）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）点到平面的距离为.【解析】试题分析：（1）所以平面；（2）利用等体积法，所以点到平面的距离为.试题解析：()证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面 () 由()知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知，又平面，所以，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得 ，即，即，所以，所以点到平面的距离为.2
14、0. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，可得，解导数不等式可得出单调性；（2）由对任意的恒成立，变量分离得对任意的恒成立，构造函数，对函数求导，求单调性，得到函数的最大值，进而可得b的最小值.【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由，因为对任意的恒成立，对任意的恒成立，构造函数，.，且单调递增，一定存在唯一的，使得.即，.在上单调递增，在上单调递减.，b的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性方程与不等
15、式的解法函数零点等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21. 已知抛物线：，直线l：（）.（1）证明：直线与抛物线恒有两个交点；（2）直线与有两个交点为原点，如果，直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）是，.【解析】【分析】（1）联立消去y得到，再利用判别式法证明（2）设直线的方程为，联立求得，同理求得，利用点斜式写出直线方程判断.【详解】（1）联立得.，故直线与抛物线恒有两个交点.（2）设直线的方程为，联立得，或（舍去），.设直线的方程为，联立得，直线的方程为，即，直线恒过定点.【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：假设定
16、点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所除题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，曲线：（为参数）.（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）已知分别为曲线与曲线上的动点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分
17、析】（1）由极坐标方程与直角坐标方程的互化和参数方程化直角坐标方程可得答案.（2）由（1）知曲钱的圆心坐标为和半径为的圆，曲线为直线，则的最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】解：（1），.由消掉后得，故曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲钱的圆心坐标为和半径为.圆心到直线：的距离，的最小值为.23. 已知函数.（1）不等式的解集，求.（2）若关于的方程有实数根，求实数的的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号解不等式组，再求并集即可.（2）根据分段函数的单调性求出，解不等式即可得答案.详解】（1），当时，；当时，；当时，所以不等式的解集.（2）由易知，函数在上递减，在上递增，当时，有最小值，即，.由得只要，解得或.【点睛】本题主要考查分类讨论解绝对值不等式，考查了利用函数单调性求最值，属于基础题.
