1、第 11 讲 立体几何中的探索性问题高考预测一：动态问题1如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，/ADBC，90ADC，平面 PAD 底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，2PAPD，112BCAD，3CD（）若点 M 是棱 PC 的中点，求证：/PA平面 BMQ；（）求证：若二面角 MBQC为30，试求 PMPC 的值【解析】解：（）证明：连接 AC，交 BQ 于 N，连接 MN/BCAD且12BCAD，即/BCAQ 四边形 BCQA 为平行四边形，且 N 为 AC 中点，又点 M 是棱 PC 的中点，/MNPAMN 平面 MQB，PA 平面 MQ
2、B，/PA平面 MBQ（4 分）（）PAPD，Q 为 AD 的中点，PQAD平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCDAD，PQ 平面 ABCD/ADBC，12BCAD，Q 为 AD 的中点，四边形 BCDQ 为平行四边形，/CDBQ9090ADCAQB即 QBAD（6 分）如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系 则平面 BQC 的法向量为(0,0,1)n；(0Q，0，0)，(0,0,3)P，(0,3,0)B，(1,3,0)C 则(1,3,3)PC ，(0,0,3)QP 设,(01)PMtPCt，下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君在平面 MBQ 中，(0,3,0)QB，
3、(,3,33)QMQPtPCttt，（8 分）平面 MBQ 法向量为(33,0,)mtt（10 分）二面角 MBQC为 30，22|3cos30|2(33)0n mtnmtt ，1233,42tt（舍)34PMPC（12 分）2如图，AE 平面 ABCD，/CFAE，/ADBC，ADAB，1ABAD，2AEBC（）求证：/BF平面 ADE；（）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（）若二面角 EBDF的正弦值为 2 23，求线段 CF 的长【解析】解：（）证明：以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AE所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(1B，0，0)
4、，(1C，2，0)，(0D，1，0)，(0E，0，2)，设 CFh，(0)h，则(1F，2，)h，(0BF，2，)h，(0AD，1，0)，(0AE，0，2)，平面 ADE 的法向量(1AB，0，0)，0AB BF ，且 BF 平面 ADE，/BF平面 ADE（）解：(1BD ，1，0)，(1BE ，0，2)，(1CE ，2，2)，设(nx，y，)z 为平面 BDE 的法向量，则020n BDxyn BExz ，令1z ，得(2n，2，1)，设直线 CE 与平面 BDE 所成角为，则直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为：|4sin9|CE nCEn （）解：设平面 BDE 的法向量(ma
5、，b，)c，则020m BDabm BEac ，取1a ，得(2m，2，1)，设平面 BDF 法向量(pm，n，)t，则020p BDmnp BFnht，取1m ，得(1p，1，2)h，二面角 EBDF的正弦值为 2 23，222|4|2 211()|3343 2m phmph，解得87h 二面角 EBDF的正弦值为 2 23时线段 CF 的长为 87 3如图，在四棱锥 PABCD中，已知 PA 平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，2ABCBAD，2PAAD，1ABBC（1）求点 D 到平面 PBC 的距离；（2）设 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小
6、时，求二面角 BCQD的余弦值【解析】解：（1）1122BCDSBCAB，由于 PA 平面 ABCD，从而 PA 即为三棱锥 PBCD的高，故1133P BCDBCDVSPA设点 D 到平面 PBC 的距离为 h 由 PA 平面 ABCD 得 PABC，又由于 BCAB，故 BC 平面 PAB，所以 BCPB由于12225BP，所以1522PBCSBCPB故1536D BCPBCPVShh因为PBCDDBCPVV，所以点 D 到平面 PBC 的距离2 55h（2）以AB，AD，AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则各点的坐标为(1B，0，0)，(1C，1，0)，(0D，2，0
7、)，(0P，0，2)设 BQBP，(01)因为(1BP ，0，2)，所以(BQ，0，2)，由(0CB，1，0)，得(CQCBBQ，1，2)，又(0DP，2，2)，从而 cosCQ，212|102CQ DPDPCQ DP 设12t，1t，3，则2cosCQ，22222915205109109()99tDPttt当且仅当95t，即25 时，|cosCQ，|DP 的最大值为 3 1010cosyx在(0,)2 上是减函数，此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值又因为22125BP，所以22 555BQBP(0CB，1，0)，(1PC，1，2)设平面 PCB 的一个法向量为(mx，y，)z，则0m
8、 PC，0m CB，即200 xyzy，得：0y，令1z ，则2x(2m，0，1)是平面 PCB 的一个法向量又(CQCBBQ，1，22)(5 ，1，4)5，(1CD ，1，0)设平面 DCQ 的一个法向量为(nx，y，)z，则0n CQ，0n CD，即25400 xyzxy，取4x，则4y，7z，(4n，4，7)是平面 DCQ 的一个法向量从而 cosm ，5|3m nnmn，又由于二面角 BCQD为钝角，二面角 BCQD的余弦值为53高考预测二：翻折问题4如图，BCD是等边三角形，ABAD，90BAD，将BCD沿 BD 折叠到 BC D的位置，使得ADC B（1）求证：ADAC；（2）若
9、M，N 分别是 BD，C B的中点，求二面角 NAMB的余弦值【解析】（1）证明：因为90BAD，所以 ADAB，又因为 C BAD，且 ABC BB，所以 AD 平面 C AB，因为 AC 平面 C AB，所以 ADAC（2）因为BCD是等边三角形，ABAD，90BAD，不防设1AB ，则2BCCDBD，又因为 M，N 分别为 BD，C B的中点，由此以 A 为原点，AB，AD，AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 Axyz则有(0A，0，0)，(1B，0，0)，(0D，1，0)，(0C，0，1)，1 1(,0)2 2M，11(,0,)22N所以1 1(,0)2 2AM，11(,0,)2
10、2AN 设平面 AMN 的法向量为(,)mx y z则00AM mAN m ，即1102211022xyxz，令1x ，则1yz 所以(1,1,1)m 又平面 ABM 的一个法向量为(0,0,1)n 所以13cos,|33m nm nm n 所以二面角 NAMB的余弦值为33 5图 1 是由矩形 ADEB、Rt ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB，2BEBF，60FBC 将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA的大小【解析】
11、证明：（1）由已知得/ADBE，/CGBE，/ADCG，AD，CG 确定一个平面，A，C，G，D 四点共面，由已知得 ABBE，ABBC，AB 面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC 平面 BCGE 解：（2）作 EHBC，垂足为 H，EH 平面 BCGE，平面 BCGE 平面 ABC，EH 平面 ABC，由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，60EBC，1BH，3EH，以 H 为坐标原点，HC的方向为 x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系 Hxyz，则(1A ，1，0)，(1C，0，0)，(2G，0，3)，(1CG，0，3)，(2AC，1，0)，设平面 ACGD 的法向量(nx
12、，y，)z，则3020CG nxzAC nxy ，取3x，得(3n，6，3)，又平面 BCGE 的法向量为(0m，1，0)，3cos,|2n mn mnm ，二面角 BCGA的大小为 30 6正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC折起，使点 C 到达点 P 的位置，平面 PEF 平面 ABFD（1）证明：PF 平面 PDE；（2）求二面角 BAPD的余弦值【解析】解：（1）由已知可得，平面 PEF 平面 ABFD，BF 平面 ABFD，BFEF，平面 PEF 平面 ABFDEF，所以 BF 平面 PEF，BFPF，又/BFAD，所以 ADP
13、F，又 PFPD，且 ADPDD，所以 PF 平面 PDE（2）作 POEF，垂足为 O 由（1）得，PO 平面 ABFD 以 O 为坐标原点，OF的方向为 y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由（1）可得，DEPE又2DP，1DE ，所以3PE 故 PEPF可得32PO，32EO 则(0O，0，0)，3(1,0)2A，1(1,0)2B，3(0,0,)2P，1(0,0)2F，13(1,)22BP ，(0,2,0)AB，由（1）知：PF 为平面 APD 的法向量，13(0,)22PF，设平面 ABP 的法向量为(,)nx y z，则：00n ABn BP，即2013022yxyz，
14、所以0y，令3x，则2z，(3,0,2)n，13(0,)22PF，则321cos7|7PF nPF nPFn ，所以二面角 BAPD的余弦值为2177如图，在ABC中，2B，2ABBC，P 为 AB 边上一动点，/PDBC 交 AC 于点 D，现将 PDA沿 PD 翻折至PDA，使平面 PDA 平面 PBCD（1）当棱锥 A PBCD的体积最大时，求 PA 的长；（2）若点 P 为 AB 的中点，E 为 A C的中点，求证：DE 平面 A BC【解析】解：（1）令(02)PAxx，则 A PPDx2BPx，因为 A PPD，且平面 A PD 平面 PBCD，故 A P 平面 PBCD，所以31
15、11(2)(2)(4)366APBCDVShxx xxx，令31()(4)6f xxx，由21()(43)06fxx得2 33x，当2 3(0,)3x时，()0fx，()f x 单调递增，当2 3(3x，2)时，()0fx，()f x 单调递减，所以，当2 33x 时，()f x 取得最大值，即：体积最大时，2 33PA（2）设 F 为 A B的中点，连接 PF，FE，则有/EFBC，12EFBC，/PDBC，12PDBC，所以/DEPF，又 A PPB，所以 PFA B故 DEA B，又因为点 P 为 AB 的中点，/PDBC，可得 D 为 AD 中点，A DDC，又 E 为 A C的中点，
16、可得：A EEC，所以：DEA C，由于 A BA CA，可得 DE 平面 A BC8如图（1），在 Rt ABC中，90C，3BC，6AC，D、E 分别是 AC、AB 上的点，且/DEBC，将 ADE沿 DE 折起到1A DE 的位置，使1A DCD，如图（2）（1）求证：BC 平面1A DC（2）当点 D 在何处时，三棱锥1ABCD体积最大，并求出最大值；（3）当三棱锥1ABCD体积最大时，求 BE 与平面1A BC 所成角的大小【解析】证明：（1）在ABC中，90C，/DEBC，ADDE，可得1A DDE又1A DCD，CDDED，1A D 面 BCDE BC 面 BCDE，1A DBC
17、BCCD，CDBCC，BC 面1A DC 解：（2）设 DCx，则16A Dx由（1）1A DBC，又1A DDC，1A DBCD，1A D 面 BCD 1211(3)932ABCDBCDxVSA D因此当3x 时，即 D 为 AC 中点时，三棱锥1ABCD体积最大，最大值为 92解：（3）如图，连接1AA，01190A DCA DA，1A DADCD，0190A AC，即11A AAC因此1ABA BE与平面1A BC 所成角13 2,3 5A AAB110sin5ABABE 与平面1A BC 所成角的大小为10arcsin59如图（1），在 Rt ABC中，90C，3BC，6AC，D，E
18、分别是 AC，AB 上的点，且/DEBC，2DE 将ADE沿 DE 折起到 A DE的位置，使 A CCD，如图（2）（）求证：/DE平面 A BC；（）求证：A CBE；（）线段 A D上是否存在点 F，使平面 CFE 平面 A DE若存在，求出 DF 的长；若不存在，请说明理由【解析】()I 证明：因为 D，E 分别为 AC，AB 上的点，且/DEBC，又因为 DE 平面 A BC，所以/DE平面 A BC（3 分）()II 证明：因为90C，/DEBC，所以 DECD，DEAD，由题意可知，DEA D，（4 分）又 A DCDD，所以 DE 平面 A CD，（5 分）所以 BC 平面 A
19、 CD，（6 分）所以 BCA C，（7 分）又 A CCD，且 CDBCC，所以 A C 平面 BCDE，（8 分）又 BE 平面 BCDE，所以 A CBE（9 分）()III 解：线段 A D上存在点 F，使平面 CFE 平面 A DE理由如下：因为 A CCD，所以，在 Rt A CD中，过点 C 作 CFA D于 F，由()II 可知，DE 平面 A CD，又 CF 平面 A CD所以 DECF，又 A DDED，所以 CF 平面 A DE，（12 分）因为 CF 平面 CEF，所以平面 CFE 平面 A DE，故线段 A D上存在点 F，使平面 CFE 平面 A DE（13 分）如
20、图（1），因为/DEBC，所以，DEADBCAC，即 236AD，所以，4AD，2CD 所以，如图（2），在 Rt A CD中，4A D，2CD 所以，60A DC ，在 Rt CFD中，1DF （14 分）10如图 1，45ACB，3BC，过动点 A 作 ADBC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿 AD 将 ABD折起，使90BDC（如图 2 所示）记 BDx，()V x 为三棱锥 ABCD的体积（1）求()V x的表达式；（2）设函数3()()2f xV xxx，当 x 为何值时，()f x 取得最小值，并求出该最小值；（3）当()f x 取得最小值时，设点 E，M
21、分别为棱 BC，AC 的中点，试在棱 CD 上确定一点 N，使得 ENBM，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小【解析】解：（1）设 BDx，则3CDx45ACB，ADBC，3ADCDx折起前 ADBC，折起后 ADBD，ADCD，BDDCDAD 平面 BCD321111()(3)(3)(69)3326A BCDBCDVV xADSxxxxxx(0,3)x；（2）231()()2(1)42f xV xxxx，1x时，()f x 取得最小值 4；（3）以 D 为原点，建立如图直角坐标系 Dxyz，由（2）知，1BD ，2ADCD(0D，0，0)，(1B，0，0)，(0C，2，0)，(0A，0
22、，2)，(0M，1，1)，1(2E，1，0)，且(1BM ，1，1)设(0N，0)，则1(2EN ，1 ，0)ENBM，0EN BM 即(1，1，11)(2，1 ，10)102，12，(0N，12，0)当12DN 时，ENBM设平面 BMN 的一个法向量为(nx，y，)z，(1BN ，12，0)得2yxzx ，取(1n，2，1)设 EN 与平面 BMN 所成角为，则1(2EN ，12，0)sin|cosEN，1132|2262n 60EN与平面 BMN 所成角的大小为 60 高考预测三：存在性问题11如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1A
23、B ，2AD，5ACCD（1）求证：PD 平面 PAB；（2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（3）设(01)AMAP ，是否存在实数 使得/BM平面 PCD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由【解析】（1）证明：平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCDAD，且 ABAD，AB 平面 ABCD，AB 平面 PAD，PD 平面 PAD，ABPD，又 PDPA，且 PAABA，PD 平面 PAB（2）解：取 AD 中点为 O，连接 CO，PO，5CDAC，COAD，又PAPD，POAD以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则(0P，0，1)，(1B，1，0
24、)，(0D，1，0)，(2C，0，0)，则(1PB，1，1)，(0PD，1，1)，(2PC，0，1)，(2CD ，1，0)，设(nx，y，)z 为平面 PCD 的法向量，则020n PDyzn PCxz ，取1x ，得(1n，2，2)，设 PB 与平面 PCD 的夹角为，则直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为：|33sin3|93n PBnPB（3）解：设(01)AMAP ，假设存在实数 使得/BM平面 PCD，(0M，1y，1)z，由（2）知，(0A，1，0)，(0P，0，1)，(0AP，1，1)，(1B，1，0)，(0AM，11y ，1)z，由(01)AMAP ，可得(0M，1，)
25、，(1BM ，)，/BM平面 PCD，(1n，2，2)为平面 PCD 的法向量，1220BM n ，解得14 综上，存在实数14，使得/BM平面 PCD 12在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，/PABE，2BE，4ABPA（）求证：/CE平面 PAD；（）求直线 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值；（）在棱 AB 上是否存在一点 F，使得二面角 EPCF的大小为 60？如果存在，确定点 F 的位置；如果不存在，说明理由【解析】（）证明：取 PA 中点 H，连接 EH，DH，/EBPA，12EBPAAH，四边形 ABEH 是平行四边形，/EHAB，EHAB
26、，四边形 ABCD 是正方形，/CDAB，CDAB，/EHCD，EHCD，四边形 CDHE 是平行四边形，/ECDH，又 EC 平面 PAD，DH 平面 PAD，/EC平面 PAD（）解：以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示：则(0P，0，4)，(4E，0，2)，(4C，4，0)，(0D，4，0)，(0PD，4，4)，(4PE，0，2)，(0EC，4，2)，设平面 PCE 的法向量为(mx，y，)z，则00m PEm EC，即 420420 xzyz，令1x 可得(1m，1，2)，cosm ，436|4 26m PDPDmPD ，直线 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值为|c
27、osm ，3|6PD （）解：设(F a，0，0)(04)a ，则(FPa，0，4)，(4FCa，4，0)，设平面 PCF 的法向量为1(nx，1y，1)z，则00n FPn FC，即222240(4)40axza xy，令2za可得(4n，4a，)a，故23cos,|62832m nam nm naa ，令231262832aaa，解得2a，当 F 为 AB 的中点时，二面角 EPCF的大小为 60 13如图，四棱锥层ABCD中，平面 EADABCD，/CDAB，BCCD，EAED且4AB，2BCCDEAED（）求证：BD 平面 ADE；（）求直线 BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（）在
28、线段 CE 上是否存在一点 F，使得平面 BDF 上平面 CDE？如果存在点 F，t 请指出点 F 的位置；如果不存在，请说明理由【解析】解：（1）,2,2 2,2,2 2BCCD BCCDBDEAEDEAEDAD由可得由且可得，又4AB，所以 BDAD，又平面 EAD 平面 ABCD，平面 ADE 平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，所以 BD 平面 ADE（4 分）（2）如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则有：(0D，0，0)，(0B，2 2，0)，(2C，2，0)，(2E，0，2)，(2BE，2 2，2)，(2DE，0，2)，(2DC ，2，0)，设平面 CDE 的法向量(,)nx
29、 y z，220(1,1,1)220 xznxy，设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为，得：sin|cosBE，2|3|BE nnBEn ，即直线 BE 与平面 CDE 所成的角的正弦值为23 （8 分）（3）设 CFCE，0，1，得(2DC ，2，0)，(2 2CE，2，2)，(0DB，2 2，0)，所以2(21DFDCCFDCCE，1，)，设平面 BDF 的法向量(,)mx y z，2 20(21)(1)0yxyz，12(1,0,)m，（10 分）因为平面 CDE 的法向量(1,1,1)n，且平面 BDF 平面 CDE，所以0m n ，所以10,13，故在线段 CE 上存在一点 F（靠
30、近 C 点处的三等分点处），使得平面 BDF 平面 CDE（12 分）14如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面1A BC 侧面11ABB A，且12AAAB（1）求证：ABBC；（2）若直线 AC 与平面1A BC 所成的角为 6，请问在线段1AC 上是否存在点 E，使得二面角 ABEC的大小为 23，请说明理由【解析】（1）证明：连接1AB 交1AB 于点 D，1AAAB，1ADA B又平面1A BC 侧面11A ABB，且平面1A BC 侧面111A ABBA B，AD 平面1A BC，又 BC 平面1A BC，ADBC三棱柱111ABCA B C是直三棱柱，1AA 底面 ABC
31、，1AABC又1AAADA，1AA 平面11A ABB，AD 平面11A ABB，BC 平面11A ABB，又 AB 侧面11A ABB，ABBC（2）由（1）得 AD 平面1A BC，ACD直线 AD 与平面1AAAB所成的角，即6ACD，又1122ADAB，2 2AC，222BCACAB假设在线段1AC 上是否存在一点 E，使得二面角 ABEC的大小为 23以点 B 为原点，以 BC、BA，1AA 所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系 Bxyz，如图所示，则(0A，2，0)，(0B，0，0)，1(0A，2，2)，(2C，0，0)，1(0B，0，2)(0AB，2，0)，1(2AC，2，2)，
32、1(0AB，2，2)，1(0AA，0，2)假设1AC 上存在点 E 使得二面角 ABEC的大小为 23，且11(2A EAC，2，2)，11(2AEAAA E，2，22)，设平面 EAB 的法向量为1(,)nx y z，则1AEn，1ABn，22(22)020 xyzy，令1x 得1(1n，0，)1，由（1）知1AB 平面1A BC，1(0AB，2，2)为平面 CEB 的一个法向量1cosAB，111211221|2 21(1)AB nnABn，222211|cos|322 21(1)，解得12 点 E 为线段1AC 中点时，二面角 ABEC的大小为 23 15如图 1，在ABC中，D，E 分
33、别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，2 5ABAC，4BC 将ADE沿 DE 折起到1A DE 的位置，使得平面1A DE 平面 BCED，如图 2（）求证：1AOBD（）求直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值（）线段1AC 上是否存在点 F，使得直线 DF 和 BC 所成角的余弦值为357？若存在，求出11A FAC 的值；若不存在，说明理由【解析】（）证明：因为在ABC中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以/DEBC，ADAE所以11A DA E，又 O 为 DE 的中点，所以1AODE因为平面1A DE 平面 BCED，平面1A DE 平面 BCEDDE，且1A
34、 O 平面1A DE，所以1A O 平面 BCED，所以1AOBD（）解：取 BC 的中点G，连接OG，所以 OEOG由（）得1AOOE，1A OOG如图建立空间直角坐标系 Oxyz由题意得，1(0A，0，2)，(2B，2，0)，(2C，2，0)，(0D，1，0)所以1(2,2,2)A B，1(0,1,2)A D ，1(2,2,2)AC 设平面1A BD 的法向量为(,)nx y z则110,0,n A Bn A D 即 2220,20.xyzyz 令1x ，则2y，1z ，所以(1,2,1)n 设直线1AC 和平面1A BD 所成的角为，则111|2 2sin|cos,|3|n ACn AC
35、nAC 故所求角的正弦值为 2 23（）解：线段1AC 上存在点 F 适合题意设11A FAC，其中0，1设1(F x，1y，1)z，则有1(x，1y，12)(2z，2，2)，所以12x，12y，122z，从而(2F，2，22)，所以(2,21,22)DF，又(0,4,0)BC，所以222|4|21|cos,|4(2)(21)(22)DF BCDF BCDFBC ，令222|21|357(2)(21)(22)，整理得2162490解得34 所以线段1AC 上存在点 F 适合题意，且1134A FAC 高考预测四：开放性问题16如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，ADCD，/AD
36、BC，2PAADCD，3BC，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且13PFPC（1）求证：CD 平面 PAD；（2）应是平面 AEF 与直线 PB 交于点 G 在平面 AEF 内，求 PGPB 的值【解析】解：（1）证明：PA 平面 ABCD，PACD，CDAD，ADPAD，CD 平面 PAD（2）解：PA 平面 ABCD，ADCD，/ADBC，2PAADCD，3BC，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且13PFPC 过 A 作 AMBC，交 BC 于 M，以 A 为原点，AM，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(2C，2，0)，
37、(0D，2，0)，(0P，0，2)，2 2 4(,)3 3 3F，(0E，1，1)，(2M，0，0)，(2B，1，0)，(0AE，1，1)，2 2 4(,)3 3 3AF，设平面 AEF 的法向量(nx，y，)z，则02240333n AEyzn AFxyz，取1y ，得(1n，1，1)，设(G a，b，)c，PGPB，01 ，则 PGPB，(a，b，2)(2c，1，2)，解得2a，b，22c，(2AG，22)，平面 AEF 与直线 PB 交于点 G 在平面 AEF 内，2220AG n，解得23，故 PGPB的值为 2317如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，ADCD，/AD
38、BC，2PAADCD，3BC E为 PD 的中点，点 F 为 PC 上靠近 P 的三等分点（1）求二面角 FAEP的余弦值；（2）设点 G 在 PB 上，且23PGPB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由【解析】解：（1）以 A 为原点，在平面 ABCD 内过 A 作 CD 的平行线为 x 轴，AD、AP 分别为 y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A，0，0)，(0E，1，1)，(0P，0，2)，(2B，1，0)，2 2 4(,)3 3 3F，(0,1,1)AE，2 2 4(,)3 3 3AF，设平面 AEF 的法向量(,)mx y z，则02240333m AEy
39、zm AFxyz，取1y ，则1z ，1x ，(1,1,1)m 不妨取平面 AEP 的法向量(1,0,0)n，cosm ，131|33m nnmn 由图可知，二面角 FAEP为锐二面角，故二面角 FAEP的余弦值为33（2）直线 AG 在平面 AEF 内，理由如下：点 G 在 PB 上，且23PGPB，42 2(,)33 3G，42 2(,)33 3AG，由（1）知，平面 AEF 的法向量(1,1,1)m，4220333m AG，直线 AG 在平面 AEF 内18如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，点 E、F、G 分别为11A B，11B C，1BB 的中点，点 P
40、是正方形11CC D D 的中心（1）证明：/AP平面 EFG；（2）若平面1AD E 和平面 EFG 的交线为 l，求二面角 AlG【解析】解：（1）证明：连接1D C，AC，点 E，F，G 分别为11A B，11B C，1BB 的中点，1/EGD C，又1D C 平面 EFG，EG 平面 EFG，1/D C平面 EFG，同理，AC 平面 EFG，又1D CACC，1D C 平面1ACD，AC 平面1ACD，平面1/ACD平面 EFG，点 P 是正方形11CC D D 的中心，AP 平面1ACD，/AP平面 EFG；（2）以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(2E，1，2)，1(0D，0，2)，故1(0,1,2),(2,1,0)AED E，设平面1AD E 的法向量为(,)nx y z，由100n AEn D E，可得2020yzxy，令1x ，则(1,2,1)n，取平面 EFG 的法向量为(1,1,1)m，则0m n ，二面角 AlG 的大小为2
