1、第三章 空间向量与立体几何32.3 直线与平面的夹角第三章 空间向量与立体几何 1.了解最小角定理的推证方法 2.理解斜线和平面所成角的定义 3.掌握直线和平面所成角的求法栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1最小角定理cos cos 1cos 2小的角最射影栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2直线与平面所成的角栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1一条直线与平面 所成的角为 30，则它和平面 内所有直线所成的角中最小的角为()A30 B60 C90 D150答案：A栏目导
2、引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若 cosm，n12，则直线 l 与平面 所成的角为()A30B60C120D150答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 用定义法求斜线和平面的夹角 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 和平面A1B1CD 所成的角栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 A1O.设正方体棱长为 a.易证 BC1平面 A1B1
3、CD，所以 A1O 为 A1B 在面 A1B1CD 上的射影，所以BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角 在 RtA1BO 中，A1B 2a，OB 22 a，所以 sinBA1OOBA1B12，所以BA1O30.即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何所谓定义法是指将求斜线与平面的夹角转化为斜线与其在平面内射影的夹角，此种方法的关键是确定斜线在平面内的射影找射影有以下两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上，故找到斜线上任一点在平面内的射影，连斜足和垂足即得；(2)利
4、用已知垂直关系得出线面垂直，连接斜足和垂足即得 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 的中点，连接CE，求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值解：如图，过 A、E 分别作 AO平面 BCD，EG平面 BCD，O、G 为垂足所以 AO=2GE，AO、GE确定平面 AOD，连接 GC，则ECG 为 CE和平面 BCD 所成的角因为 ABACAD，所以 OBOCOD.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何因为BCD 是正三角形，所以 O 为BCD 的中心，连接 OD 并延长交 B
5、C 于 F，则 F 为BC 的中点令正四面体棱长为 1，可求得 CE 32，DF 32，OD 33，AO AD2OD2139 63，所以 EG 66，在RtECG 中，sinECGEGCE 23.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 用向量法求线与面的夹角 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几
6、何【解】(1)证明：由已知得 AM23AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN.由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN=AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面PAB.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而AEAD，且 AE AB2BE2AB2BC22 5.以 A 为坐标原点，AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M
7、(0，2，0)，C5，2，0，N52，1，2，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何PM(0，2，4)，PN 52，1，2，AN 52，1，2.设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则nPM 0，nPN 0，即2y4z0，52 xy2z0，可取 n(0，2，1)于是|cosn，AN|nAN|n|AN|8 525，则直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 525.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的
8、法向量 n；(4)计算：设线面角为，则 sin|nAB|n|AB|.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB 2AA1，点 D 是 A1B1 的中点，点 E 在 A1C1 上，且 DEAE.求直线 AD和平面 ABC1 所成角的正弦值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何解：如图所示，设 O 是 AC 的中点，,以 O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 AA1 2，则 AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1，0)，B(3，0，0)，C1(0，1，2)，D(32，12，2)易
9、知AB(3，1，0)，AC1(0，2，2)，AD(32，12，2)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何设平面 ABC1 的一个法向量为 n(x，y，z)，则有nAB 3xy0nAC1 2y 2z0，解得 x 33 y，z 2y，故可取 n(1，3，6)所以，cosn，AD|nAD|n|AD|2 310 3 105 由此即知，直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值为 105 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何直线与平面夹角的求法(1)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何
10、(2)向量法若直线 AB 与平面 的夹角为，平面 的法向量为 n，直线 AB 与向量 n 所在直线的夹角为，则 2，利用向量的夹角公式求出 cos nAB|n|AB|，再根据 sin cos 求出.(3)利用公式 cos cos 1cos 2 求解栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角与线面角是互余关系.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2 倍，则斜线与平面所成角的大小为()A30 B60C45D120解析：选 B由题意知：设线面角为，
11、所以 cos 12，所以 60，故选 B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于()A120B60C30D以上均错答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3若平面 的一个法向量为 n(3，3，0)，直线 l 的一个方向向量为 b(1，1，1)，则 l 与 所成角的余弦值为_解析：由 cosn，b(3，3，0)(1，1，1)3232 111 63，知 l 与 所成角的余弦值为169 33.答案：33栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
