1、专题对点练26坐标系与参数方程(选修44)1.(2022全国,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.2.(2022全国,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.3.在直角坐标系xOy中,曲线C
2、1的参数方程为x=2cos,y=sin(其中为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为(tan cos -sin )=1为常数,0,且2,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.4.已知曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换x=12x,y=13y得到曲线C,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若过点A32,(极坐标)且倾斜角为6的直线l与曲线
3、C交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP|AM|AN|的值.专题对点练26答案1.解 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-或k=0.经
4、检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8
5、=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.3.解 (1)曲线C1的参数方程为x=2cos,y=sin(其中为参数),普通方程为x24+y2=1;曲线C2的极坐标方程为(tan cos -sin )=1,直角坐标方程为xtan -y-1=0.(2)C2的参数方程为x=tcos,y=-1+tsin(t为参数),代入x24+y2=1,得14cos2+sin2t2-2tsin =0,t1+t2=2sin14cos2+sin2,t1t2=0,|AB|=2sin14cos2+sin2=83sin+1sin.0,且,sin (0,1),|AB|max=433,此时B的坐标为423,13.4.解 (1)C:x=2cos,y=3sinx24+y23=1,将x=12x,y=13yx=2x,y=3y代入C的普通方程可得x2+y2=1.因为2=x2+y2,所以曲线C的极坐标方程为C:=1.(2)点A32,的直角坐标是A-32,0,将l的参数方程x=-32+tcos6,y=tsin6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,t1+t2=332,t1t2=,|AP|AM|AN|=t1+t22|t1t2|=335.
