1、43几何证明选讲1.如图，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.证明BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由、得，即EFDFBCAC.2.(2014陕西改编)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的值解AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.3(2014重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的值解由
2、切割线定理得PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得AB4.4.如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2，AE6.(1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长解(1)取BD的中点O，连结OE.BE平分ABC，CBEOBE.又OBOE，OBEBEO，CBEBEO，BCOE.C90，OEAC，直线AC是BDE的外接圆的切线，即直线AC与BDE的外接圆相切(2)设BDE的外接圆的半径为r.在AOE中，OA2OE2AE2，即(r
3、2)2r262，解得r2，OA2OE，A30，AOE60.CBEOBE30，ECBEr23.5.如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长(1)证明连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连结DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.6如图，已知
4、AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，求线段CD的长解因为AFBFEFCF，解得CF2，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.7(2014课标全国)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MN
5、BC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形8.如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，
6、所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.9(2014辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与Rt
7、ACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角于是ED为直径由(1)得EDAB.10.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OMOPOA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM90.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OAAM.又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知，OA2OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BNOK，同(1)，有OB2O
8、NOK，又OBOA，所以OPOMONOK，即.又NOPMOK，所以ONPOMK，故OKMOPN90.11如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论知，ACAE.12.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.