1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2021全国)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.(2021山西名校联考三模)已知ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+13ACB.13AB+23ACC.-23AB+13ACD.-13AB+23AC3.已知向量a,b的夹角为2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.23B.3C.21D.414.(2021山东济宁模拟)已知AC=(-1,3),AB=(3,1),若线段BC的一个
2、三等分点为M,则AM的坐标为()A.13,73或53,53B.53,53C.13,73D.73,13或103,735.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)7.(2021湖南衡阳八中高三月考)已知复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0(p,qR)的一个根,则|pi+q|=()A.25B.5C.41D.4
3、18.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为4.若a-b与b垂直,则实数的值为()A.-12B.12C.-24D.249.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,AP=13AB,AQ=12AD,若CPCQ=12,则ADC=()A.56B.34C.23D.210.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,51211.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3
4、C.2D.512.(2021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,ADBD,|AD|=3,BAD=6,CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),则CMCN的最大值为()A.4+132B.2+132C.4+134D.2+134二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.14.已知两个单位向量a和b的夹角为120,则a+b在b方向上的投影为.15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则(PA+PB)(PC+PD)的最小值为.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y
5、=1-x2上的一个动点,则BPBA的取值范围是.答案：1.C解析设z=x+yi(x,yR),则z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1.故z=1+i.2.C解析如图,设E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点.因为O是ABC的重心,所以BO=23BE=23(AE-AB)=2312AC-AB=-23AB+13AC.3.C4.A解析由线段BC的一个三等分点为M,得2CM=MB或CM=2MB.若2CM=MB,则2AM-2AC=AB-AM,故AM=13AB+23AC=13,73;若CM=2MB,则AM-AC=2AB-2AM,故AM=23AB+13AC=53,5
6、3.5.A解析由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.C解析设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.故点P坐标为(3,0).7.C解析因为复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(i-2)2+p
7、(i-2)+q=0,所以pi+q=4i+2p-3,所以p=4,q=2p-3,解得p=4,q=5,则|pi+q|=|4i+5|=41.8.D解析因为a-b与b垂直,且ab=12cos4=2,所以(a-b)b=2-4=0,解得=24,故选D.9.C解析因为CP=BP-BC=-23AB-AD,CQ=DQ-DC=-12AD-AB,所以CPCQ=-23AB-AD-12AD-AB=239+4332cosBAD+124=8+8cosBAD=12,所以cosBAD=12,BAD=3,ADC=23.10.D解析由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)
8、2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.12.C解析由题意,以点D为坐标原点,以DB的方向为x轴的正方向,以DA的方向为y轴的正方向,建立直角坐标系如图所示.因为|AD|=3,BAD=6,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,3)
9、.又因为CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M12,32,N0,32.因为DCB为直角,所以CDBC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点.设C(x,y),则x-122+y2=14,即x2+y2=x.又因为CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,所以CMCN=-12x+x2+34-3y+y2=12x-3y+34.令m=12x-3y,即x-23y-2m=0,所以点C(x,y)为直线x-23y-2m=0与圆x-122+y2=14的一个交点,因此圆心12,0到直线x-23y-2m=0的距离小于等于半径12,即12-2m1+1212,解得1
10、-134m1+134,所以CMCN的最大值为1+134+34=4+134.13.22解析|z|=1|1+i|=12=22.14.12解析设向量a+b与b的夹角为.因为(a+b)b=ab+b2=12,所以|a+b|cos=(a+b)b|b|=12.15.-1解析如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).设P(x,y),则PA=(-x,1-y),PB=(-x,-y),PC=(1-x,-y),PD=(1-x,1-y),(PA+PB)(PC+PD)=(-2x,1-2y)2(1-x),1-2y=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2-1,
11、当x=12,y=12时,(PA+PB)(PC+PD)有最小值,且最小值为-1.16.0,2+1解析如图,画出函数y=1-x2的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,2.当0,4时,cos4-=|BP|2,当4,2时,cos-4=|BP|2.因为y=cosx,xR是偶函数,所以|BP|=2cos-4,0,2.BPBA=|BP|BA|cos=22cos-4cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin2+4+1.因为0,2,所以2+44,54.当2+4=2,即=8时,BPBA取最大值2+1,当2+4=54,即=2时,BPBA取最小值0,所以BPBA的取值范围是0,2+1.
