1、学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测数学试卷（考试时间：120 分钟；总分：150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.()cos210=（）A.32 B.32 C.12 D.12 2.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在砺智石一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“+的否定为（）A.x，Ry，()333xyxy+C.x，Ry，()333xyxy+D
2、.x，Ry，()333xyxy+3.已知下列表格表示的是函数()yf x=，则()()12ff+的值为（）x321 0 1 2 3 y152 0 2 1 4 A.2 B.1 C.0 D.1 4.在罗贯中所著的三国演义中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元 208 年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第 49 回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5
3、.某校高一 5 班有学生 50 人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中 A 活动参与的人数有 30人，B 活动参与的人数有 25 人，由于个人原因有 5 人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为（）A.40 B.35 C.30 D.25 6.函数()()2f xxxa=+，若()()120ff，则()1f，()1f，()2f的大小关系是（）A.()()()112fff B.()()()112fff C.()()()121fff D.()()()211fff学科网（北京）股份有限公司7.如图直角坐标系中，角02、角02，且1a），logaykxb=+（0a，且1a），选出你认
4、为最符合实际的函数模型，预测该企业 2024 年的年产值约为（）年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年产值 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 A.924 万元 B.976 万元 C.1109 万元 D.1231 万元 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.已知函数()sin3 cosf xxx=，则（）A.()f x 的最大值为 2
5、B.函数()yf x=的图象关于点,03对称 C.直线3x=是函数()yf x=图象的一条对称轴 D.函数()yf x=在区间,02上单调递增 10.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间0,1 上的函数()f x，且满足：任意1201xx，()()12f xf x；()24xf xf=；()()11f xfx+=，则（）学科网（北京）股份有限公司A.()f x 在0,1 上单调递增 B.()f x 的图象关于点 1 1,2 2对称 C.当116x=时，()14f x=D.当1 15,16 16x时，()()12ff
6、 x=11.设Rx，当()11Z22nxnn+时，规定 xn=，如 1.52=，0.20=.则下列选项正确的是（）A.abab+（a，Rb）B.()211N*nnnn+=+C.设函数2sin2cosyxx=+的值域为 M，则 M 的子集个数为 512 D.11112120221202322202322023220232xxxxx+=三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知102a=，103b=，则2ba=_.13.为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加 A 社团的学生有 21 人，参加 B 社团的学生有 18 人，两个社团都参加的
7、有 7 人，另外还有 3 个人既不参加 A 社团也不参加 B 社团，那么高一（1）班总共有学生人数为_.14.已知()f x 不是常数函数，且满足：()()0f xfx+=，()2fxf x+=.请写出函数()f x 的一个解析式_；将你写出的解析式()()22223log12aaf xxx+得到新的函数()h x，若()()333hh+=，则实数a 的值为_.（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）已知关于 x 的不等式20 xmxn+的解集为21xx，1a）.（1）判断函数()f x 的奇偶性，
8、并说明理由；学科网（北京）股份有限公司（2）讨论函数()f x 在()1,+上的单调性，并加以证明.17.（15 分）已知函数()()()ln 1ln 1f xxkx=+.请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件：()()0f xfx+=；条件：()()0f xfx=.（注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答记分）.（1）求实数k 的值；（2）设函数()()()11kF xxx=+，判断函数()F x 在区间()0,1 上的单调性，并给出证明；（3）设函数()()2kg xf xxk=+，指出函数()g x 在区间()1,0上的零点个数，并说明理由.18.（17
9、分）设函数()cos 3f xx=，()lng xx=，()22ee15xxh x=.（1）求函数()yf x=在()0,10 上的单调区间；（2）若()10,3x，()2,xa，使()()12f xh x=成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：函数()()()xf xg x=在()0,+上有且只有一个零点0 x，并求()()0h g x（x 表示不超过 x 的最大整数，如2.72=，3.24=）.（参考数据：62.449，5ln0.2234）.19.（17 分）有如下条件：对()0,ixt，1i=，2，12xx，均有()()12f xf x；对()0,ixt，1i=，2，12xx；对()0
10、,ixt，1i=，2，3，123xxx+=；若123xxx，则均有()()()123222fxfxfx；对()0,ixt，1i=，2，3，123xxx+=；若123xxx.（1）设函数()sinf xx=，2t=，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；（2）设0,4x，比较函数()()cossinxf xx=，()()sincosxg xx=，()()sinsinxh xx=值的大小，并说明理由；（3）设函数()sin xf xx=，满足条件，求证：t 的最大值 max t.（注：导数法不予计分）学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质
11、量抽测数学试卷参考答案阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B B A C C 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。注意：全部选对的得 6 分
12、，第 9 题选对其中一个选项得 2 分，第 10、11 题选对其中一个选项得 3 分。有错选的得 0 分。题号 9 10 11 答案 AB BCD BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.3 13.35 14.sin 2yx=（答案不唯一，形如sin 2yAx=，tanyAx=，是周期为 的奇函数均可）；0 或 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分 13 分，第一小题 6 分，第二小题 7 分）解：（1）因为关于 x 的不等式20 xmxn+的解集为21xx 时，()()2211axf xx=+
13、单调递减，当01a 时，()()2211axf xx=+单调递增，1x，()21,x+，且12xx，则()()()()()()()()()()2222221211222 1122222121211111111axaxaxx xaxx xf xf xxxxx+=+()()()()()2121222121 111ax xxxxx=+，因为1x，()21,x+，且12xx，所以1210 x x，120 xx时，()()()()()2121222121 1011ax xxxxx+，即()()12f xf x，故()()2211axf xx=+单调递减，当01a 时，()()()()()21212221
14、21 1011ax xxxxx+，即()()12f xf x+，解得 11x ，所以函数()f x 的定义域为()1,1，若选：因为()()0f xfx+=，即()f x 为奇函数，则()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10 xkxxkx+=，学科网（北京）股份有限公司整理得()()21ln 10kx+=，注意到对任意()1,1x 上式均成立，可得10k+=，解得1k=；若选：因为()()0f xfx=，即()f x 为偶函数，则()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10 xkxxkx+=，整理得()11ln01xkx=+，注意到对任意()1,1x 上式均成立，可得10k=，
15、解得1k=.（2）若选：则1k=，可得()()()11211111xF xxxxx=+=+，可知函数()F x 在区间()0,1 上单调递减，证明如下：对任意1x，()20,1x，且12xx，则()()()()()21121212122222211111111xxF xF xxxxxxx=+，因为1201xx，210 x+，210 xx，可得()()120F xF x，即()()12F xF x，所以函数()F x 在区间()0,1 上单调递减；若选：则1k=，可得()()()2111F xxxx=+=，可知函数()F x 在区间()0,1 上单调递减，证明如下：对任意1x，()20,1x，且
16、12xx，则()()()()()()2222121221122111F xF xxxxxxxxx=+，因为1201xx，210 xx，可得()()120F xF x，即()()12F xF x，所以函数()F x 在区间()0,1 上单调递减.（3）若选：则1k=，则()()1112ln21xg xf xxxx=+=+，由（2）可知()11xF xx=+在()0,1 内单调递减，且lnyx=在定义域内单调递增，学科网（北京）股份有限公司可知()()()1ln 1ln 1ln1xf xxxx=+=+在()0,1 内单调递减，又因为()f x 为奇函数，则()f x 在()1,0内单调递减，且1y
17、x=在()1,0内单调递减，可知()g x 在()1,0内单调递减，结合1ln302g=，111ln80109g=+=，2991991011lnln2010010000100eg=+=，可知()g x 在()1,0内有且仅有一个零点.18.（本题满分 17 分，第一小题 5 分，第二小题 6 分，第三小题 6 分）解：（1）令223kxk+，Zk，解得 366kxk+，Zk，又()0,10 x，得()yf x=的单调增区间是3,6 和)9,10；令 223kxk+，Zk，解得636kxk+，Zk，又()0,10 x，得()yf x=的单调减区间是(0,3 和6,9.函数()yf x=在()0,
18、10 上的单调增区间是3,6 和)9,10，单调减区间是(0,3 和6,9；（2）若()10,3x，()2,xa，使()()12f xh x=成立，则()10,3x，()2,xa，()f x 的值域应为()h x 的值域的子集.由（1）知，()yf x=在()0,3x单调递减，()yf x=的值域为()1,1，学科网（北京）股份有限公司()22ee15xxh x=，当(),xa 时，令()e0,exat=，则()2215F ttt=，开口方向向上，对称轴是15t=，()01F=，当10e5a时，()F t 在10,5单调递减，在 1,e5a单调递增，()e1aF，即()22ee115aa ，解
19、得151e5a+，所以151ln5a+；（3）由（1）知()yf x=在()0,3 上是减函数，易知()yg x=在()0,3 上是增函数，所以()()()cosln3xf xg xxx=在()0,3 上是减函数，又()1102=，33ln022 =时，()1f x，()1g x，所以()()()cosln03xf xg xxx=，05 3,4 2x，()0022lnln2000022126113ee11,5552516 20 xxh g xxxx=，()()00h g x=.19.（本题满分 17 分，第一小题 8 分，第二小题 4 分，第三小题 5 分）解：（1）选 理由：学科网（北京）股
20、份有限公司由()sinf xx=在0,2x上递增，故满足，不满足；由123xxx+=，且12302xxx，则103x，242x，332x，故12023x，222x，3223x，且123222xxx=，故错；由于122xx+，则1222xx+，当12042xx，则120222xx，此时12x 与 2 的距离比22x 与 2 的距离小，且12x、22x 在 2 两侧，故()()11222sin 22sin 2fxxfxx=；当1242xx，则12222xx=；综上，()()()123222fxfxfx，故对.所以()sinf xx=，2t=满足.（2）由0,4x，则20sincos12xx，而()
21、()sintk tx=在()0,1 上递减，()sin xtt=在()0,1 上递增，所以()()()()()()cossinsinsinsincosxxxf xxh xxg xx=，故()()()f xh xg x在()0,恒成立，当0,2x时，yx=的增长率比sinyx=大，故随 x 增大 sin xx变小；当,2x 时，yx=递增，sinyx=递减，故随 x 增大 sin xx变小；综上，()0,上()0f x 且递减，而),2 时()0f x，学科网（北京）股份有限公司显然，)0,2t 使()f x 在()00,t上递减，所以()sin xf xx=在()0,xt上递减，则最大值 max t，得证.
