1、考纲要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题考情分析1.独立考查两个计数原理的题目出现较少，但有时也会出现，重点考查两个原理的应用，较多情况是与排列、组合交汇考查2从命题形式上来看，以选择题、填空题的形式出现，有时会应用分类讨论思想 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。()(2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法都能直接完成这件事。()(3)在分步乘法计数原理中，各种方法中完成某个步骤的方法是各不相同的。()(4)在分步乘法计数原理中，事件是分步
2、完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事。()解析：(1)错误。在分类加法计数原理中，两类不同的方案中，方法是不相同的。(2)正确。在分类加法计数原理中，每类中的各种方法必须能完成这件事。(3)错误。在分步乘法计数原理中，各种方法中完成某个步骤的方法可以相同。(4)错误。如果单独的步骤能完成这件事，这就不是某一步了，而是一类。2设集合 A1,2,3,4，m，nA，则方程x2my2n 1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有()A6 个B8 个C12 个D16 个解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以当 m4 时，n1,2,3；当m3 时，n1,2；当 m2 时，n1，即所求的椭圆共有 3216(
3、个)。答案：A3某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A42 B30C20 D12解析：第一个节目有 6 种排法，第二个节目有 7 种排法，共 6742(种)。答案：A4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60 B48C36 D24解析：长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636 个，6 个对角面构成的“平行线面组”有 6212(个)。故共有 361248(个)。答案：B5
4、若 x、yN*，且 xy6，则有序自然数对(x，y)共有_个。解析：当 x1,2,3,4,5 时，y 值依次有 5,4,3,2,1 个，由分类加法计数原理，不同的数据对(x，y)共有 5432115(个)。答案：15知识重温一、必记 3个知识点1分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 N_种不同的方法。2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，完成第 n 步有 mn种
5、不同的方法，那么完成这件事情共有 N_种不同的方法。m1m2mnm1m2mn3两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及_的不同方法的种数。它们的区别在于：分类加法计数原理与_有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与_有关，各个步骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。完成一件事情分类 分步相互依存二、必明 2个易误点1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的。2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的。考点一 分类加法计数
6、原理【典例 1】(1)满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D9(2)三边长均为正整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是_。B36解析：(1)由于 a，b1,0,1,2，当 a0 时，有 xb2为实根，则 b 可取1,0,1,2，有 4 种可能；当 a0 时，方程有实根，所以 44ab0，所以 ab1。(*)当 a1 时，满足(*)式的 b 可取1,0,1,2，有 4 种可能。当 a1 时，b 可取1,0,1，有 3 种可能。当 a2 时，b 可取1,0，有 2 种可能。所以由分类加法计数原理，有序数对
7、(a，b)共有 443213(个)。(2)另两边长分别为 x、y(x，yN*)表示，且不妨设 1xy11，要构成三角形，必须 xy12。当 y 取 11 时，x1,2,3，11，可有 11 个三角形；当 y 取 10 时，x2,3，10，可有 9 个三角形；当 y 取 6 时，x 只能取 6，只有 1 个三角形。所求三角形的个数为 119753136。悟技法利用分类加法计数原理解题时注意事项(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复。通一类1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A5
8、0 个 B45 个C36 个 D35 个解析：利用分类加法计数原理得，8765432136个。答案：C考点二 分步乘法计数原理【典例 2】(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A10 种 B25 种C52 种 D24 种(2)用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_。解析：(1)共分 4 步：一层到二层 2 种，二层到三层 2 种，三层到四层 2 种，四层到五层 2 种，一共有 24 种。(2)能够组成三位数的个数是 91010900，能够组成无重复数字的三位数的个数是 998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是 900648252。D
9、252悟技法利用分步乘法计数原理解决问题时的注意事项(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的。(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事。(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定。通一类2有四位老师在一年级的 4 个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A8 种 B9 种C10 种 D11 种解析：四位老师用 a，b，c，d 表示，对应的班级分别用 A，B，C，D 表示，可让 a 先选，可从 B，C，D 中选一个，即有 3 种选法。若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有
10、3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有33119(种)不同的安排方法。答案：B考点三 两个计数原理的综合应用【典例 3】(1)(2016汕头模拟)如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400 种 B460 种C480 种 D496 种(2)(2016银川模拟)集合 Px,1，Qy,1,2，其中 x，y1,2,3，9，且 PQ。把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14C15 D21CB解析：(1)完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使
11、用 3 种颜色。当使用 4 种颜色时：从 A 开始，有 6 种方法，B 有 5 种，C 有 4 种，D有 3 种，完成此事共有 6543360(种)方法；当使用 3 种颜色时；A，D 使用同一种颜色，从 A，D 开始，有 6 种方法，B 有 5 种，C 有 4 种，完成此事共有 654120(种)方法。由加法计数原理可知：不同涂法有 360120480(种)。(2)当 x2 时，xy，点的个数为 177(个)；当 x2 时，xy，点的个数为 717(个)，则共有 14 个点。悟技法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么。(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类。(
12、3)弄清分步、分类的标准是什么。(4)利用两个计数原理求解。通一类3如图所示，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有_种。84解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有 A24种种法；种三种花有 2A34种种法；种四种花有 A44种种法。所以不同的种法共有 A242A34A4484 种。法二：按 ABCD 的顺序种花，可分 A，C 种同一种花与不种同一种花两种情况，共有 43(1322)84 种不同的种法。高考模拟1(2016滨州模拟)甲、乙两人从 4 门课程中选修 2 门，则甲、乙所选课程
13、中恰有 1 门相同的选法有()A6 种 B12 种C24 种 D30 种解析：分步完成，首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4种方法，其次是甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法。于是，甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种)。答案：C2(2016成都模拟)某城市有 3 个演习点同时进行消防演习，现将4 个消防队分配到这 3 个演习点，若每个演习点至少安排 1 个消防队，则不同的分配方案种数为()A12 B36C72 D108解析：先从 4 个消防队中选出 2 个作为一个整体，有 C24种选
14、法；再将三个整体进行全排列，有 A33种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为 C24A3336。答案：B3(2016临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为 L 型(每次旋转 90仍为 L 型图案)，那么在由45 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案的个数是()A16 B32C48 D64解析：每四个小方格(22 型)中有 L 型图案 4 个，共有 22 型小方格 12 个，所以共有 L 型图案 41248 个。答案：C4(2016淮北二模)在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共
15、线的三点组的个数是_。解析：根据题意，在所给的正方体的 27 个点中，三点共线的情况有 3 种：三点都在正方体的棱上，正方体有 12 条棱，即有 12 种情况；以 6 个面的中心为中点，正方体有 6 个面，每个面有 4 种情况，共有 4624 种情况，以正方体的中心为中点，共有 26213 种情况，则共有 12241349 种，即共线的三点组的个数是 49。答案：495(2016郑州模拟)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个。(用数字作答)解析：数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现 1 次，共有 4 种方法，“3”出现 3 次，共有 1 种方法，共可组成 414(个)四位数。“2”出现 2 次，共有 C246 种方法，“3”出现 2 次，共有 1 种方法，共可组成 616(个)四位数。“2”出现 3 次，共有 C344 种方法，“3”出现 1 次，共有 1 种方法，共可组成 414(个)四位数。综上所述，共可组成 46414 个四位数。答案：14
