1、章末分层突破 面积、路程做功牛顿莱布尼茨面积体积定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若F(x)f(x)，F(b)F(a).求下列定积分.(1)dx；(2) dx.【精彩点拨】(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】(1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.其面积为222，所以dx2.(2)dxdxdx.，dx.1.计算下列定积分.(1)dx；(2) (cos x2x)dx.【解】(1)dxdxln .(2
2、) (cos x2x)dx2(22).定积分在几何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V求由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】 【规范解答】画出草图，如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组得交点A(1，5)，B(4，20).故所求平面图形的面积S(x245x)dx(5xx24)dx
3、44243444.2.求曲线ysin x，x与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积. 【导学号：94210078】【解】由体积公式Vy2dx(sin x)2dx数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.如图41所示，在区间上给定曲线yx2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.图41【精彩点拨】确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.【规范解答】S1的面积等于边长分别
4、为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴，直线xt围成的面积.即S1tt2x2dxt3；S2的面积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2，1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1).令S(t)4t22t4t0，得t0或t，易知当t时，S最小，所以最小值为S.3.如图42，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.图42【解】抛物线yxx2与x轴交点的横坐标分别为x10，x21，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为S(xx2)dx.抛物线yxx2与直线ykx交点的横坐标分别为x10，x21
5、k，所以(xx2kx)dx(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.1.定积分(2xex)dx的值为()A.e2B.e1C.eD.e1【解析】 (2xex)dx(x2ex)|e.故选C.【答案】C2.若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A.1B.C.D.1【解析】f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx，f(x)dx.【答案】B3.若函数f(x)，g(x)满足则称f(x)，g(x)为区间上的一组正交函数.给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3【解析】f(x)g(x)dxsinxcosxdxsin xdx0，故第组是区间上的正交函数；f(x)g(x)dx(x1)(x1)dx(x21)dx0，故第组不是区间上的正交函数；f(x)g(x)dxxx2dxx3dx0，故第组是区间上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.【答案】C4.(x1)dx_.【解析】(x1)dx2220.【答案】0
