1、3.1.2空间向量的基本定理1理解共线向量定理(重点)2理解共面向量定理及推论(重点)3理解空间向量分解定理，并能用定理解决一些几何问题(重点)4理解基底、基向量及向量的线性组合的概念(重点、难点)基础初探教材整理1共线向量与共面向量定理阅读教材P82P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题1共线向量定理两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数x，使axb.2共面向量定理(1)向量与平面平行已知向量a，作a，如果a的基线OA平行于平面或在平面内，则说明向量a平行于平面.(2)共面向量平行于同一平面的向量，叫做共面向量(3)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向
2、量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.1空间的任意三个向量a，b,3a2b，它们一定是()A共线向量B共面向量C不共面向量 D既不共线也不共面向量【答案】B2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()A四点O，A，B，C必共面B四点P，A，B，C必共面C四点O，P，B，C必共面D五点O，P，A，B，C必共面【答案】B教材整理2空间向量分解定理阅读教材P83“空间向量分解定理”P84，完成下列问题如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.其中，表达式xaybzc，叫做向量a，b，c的线性
3、表示式或线性组合，a，b，c叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中a，b，c都叫做基向量判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b,2c也可构成空间一个基底()(2)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)()(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型共线向量定理如图3113所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的
4、中点，判断与是否共线图3113【精彩点拨】分析题意根据M，N的位置表示出根据与的关系作出判断【自主解答】M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，()()().，即与共线判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使axb成立，同时要充分利用空间向量运算法则结合具体的图形，化简得出axb，从而得出ab，即a与b共线再练一题1已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形图3114【证明】E，H分别是AB，AD的中点，()()()，且|.又点F不在上，四边形EFGH是梯形基底的判断若a，
5、b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底【精彩点拨】判断ab，bc，ca是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底【自主解答】假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断再练一题2已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3， 3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为
6、空间的一个基底？【解】假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，即不存在实数x，y使xy成立，不共面故，能作为空间的一个基底探究共研型向量共面探究P，A，B，C四点共面的四种充要条件【提示】(1)存在有序实数对(x，y)，使得xy.(2)对于空间任意一定点O，有xy.(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得xyz(其中xyz1)(4).已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任
7、一点O，若点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内【精彩点拨】(1)是否存在实数x，y，使xy？(2)如何证明四点共面？【自主解答】如图：(1)由已知，得3，()().向量，共面(2)由(1)知，向量，共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，M，A，B，C四点共面点M在平面ABC内1证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若axbyc，则向量a，b，c共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行2对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对
8、空间任一点O，xyz(xyz1)；(4)(或，或)再练一题3如图3115，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心试用向量方法证明E，F，G，H四点共面图3115【解】分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，所以()()()()()又.所以，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面构建体系1给出下列几个命题：向量a
9、，b，c共面，则它们的基线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在唯一的实数，使ab.其中真命题的个数为()A1B2C3D4【解析】向量a，b，c共面，它们的基线不一定共面故错误；由共线向量定理知错误【答案】A2若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.2【解析】由共面向量定理可知A，B，D中均满足，共面，故，不能构成空间向量的一组基底【答案】C3如图3116所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)设a，b，c，用a，b，c表示为_图3116【解析】()(
10、)(ab)c(bc)abc.【答案】abc4从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则_.(用a，b，c表示) 【导学号：15460062】【解析】()abc.【答案】abc5如图3117，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.图3117求证：E，F，B三点共线【证明】设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45
11、分钟)学业达标一、选择题1已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxay bc，若m与n共线，则xy等于()A2B2C1D0【解析】因为m与n共线，所以xaybcz(abc)所以所以所以xy0.【答案】D2已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【解析】5a6b7a2b2a4b，a2b，2，与共线，又它们经过同一点B，A，B，D三点共线【答案】A3A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点()A不共面 B共面C不一定共面 D无法判断【解析】1，点P，A，B，C四点共面【答案】B4设p：a，b，c
12、是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此pq，qp.【答案】B5正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以1，2，3为基底，x1yz3，则x，y，z的值是()Axyz1 BxyzCxyz Dxyz2【解析】()()()，由空间向量的基本定理，得xyz1.【答案】A二、填空题6已知e1，e2，e3是空间的一个基底，若e1e2ve30，则22v2_.【解析
13、】e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3为不共面向量又e1e2ve30，v0，22v20.【答案】07已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为_. 【导学号：15460063】【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1，且x1y1z11，因此2x3y4z1.【答案】18设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三点共线，则k_.【解析】由已知可得：(2e1e2)(e13e2)e14e2，A，B，D三点共线
14、，与共线，即存在R使得.2e1ke2(e14e2)e14e2，e1，e2不共线，解得k8.【答案】8三、解答题9如图3118所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量：图3118(1)；(2)；(3)；(4).【解】由题意知|，|，PA平面ABCD，0，ABAD，0，ABBC，0，()()2|21，又|，|，cos，60，PB与CD所成的角为60.10正方体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示
15、.【解】(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)12111cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(3)|.能力提升1若P，A，B，C为空间四点，且有，则1是A，B，C三点共线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若1，则()，即，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有，故()，整理得(1)，令1，则1，故选C.【答案】C2已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么M必()A在平面BAD1内 B在平面BA1D内C在平面BA1D1内 D在平面AB1C1内【解析】由于76464646()4()1164，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.【答案】C3已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若ae1e2(，R，且220)，则下列三个结论有可能正确的是_. 【导学号：15460064】a与e1共线；a与e2共线；a与e1，e2共面【解析】当0时，ae2，故a与e2共线，同理当0时，a与e1共线，由ae1e2，知a与e1，e2共面【答案】4如图3119所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点试判断向量与向量，是否共面图3119【解】由题图可得，又，所以得2，即，故向量与向量，共面.
