圆锥曲线中的四点共圆1.基础知识：（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是. （2）相交弦定理：2.典例（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.解析：因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，所以，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.3.练习 (2016年高考四川卷第20题)已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：.解 (1)(过程略)椭圆的方程是.(2)设，线段的中点为.可得，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得所以，由推论1得四点共圆.再由相交弦定理，立得.
