1、欧拉函数的基本性质与应用一基本原理1.定义：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,的值等于中与互素的数的个数.2.计算公式：（1）若为素数，则（2）若为素数，且，形成了一个等比数列.证明：即证.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数；亦即等于从减去中与不互质的数的个数.由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数.由于中被整除的数的个数是，故.（3）已知正整数的素因数分解式其中素数,证明：二典例分析例1若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，则下列说法正确的是（ ）A B数列是等差数列C D数列的
2、前项和为，则解析：对于A选项，在不超过的正整数中，与互质的正整数有：、，故，A错；对于B选项，因为，显然、不成等差数列，B错；或者用上面公式：，显然不是等差数列.对于C选项，为质数，在不超过的所有正整数中，能被整除的正整数的个数为，所有与互质的正整数的个数为，所以，因此，C错；或者用上面公式：，因此，C错；对于D选项，因为为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，所以，所以，则，所以，上述两个不等式作差可得，所以，D对.或者：若，形成了一个等比数列.故选D.例2在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整
3、数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有12）；（与9互素有124578）.记为数列的前n项和，则=（）ABCD解析：因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，共有，所以，则，于是，由-得，则.于是.故选：A例3.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（）AB数列是等比数列C数列不是递增数列D数列的前n项和小于解析：，A对；2为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，为等比数列，B对；
4、与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，.共有个，又，是递增数列，故C错误；，的前n项和为设，则，所以，所以，所以数列的前n项和小于，故D正确. 故选：ABD.三习题演练1对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（）A B数列为等比数列C数列不单调 D数列的前项和恒小于4解析：因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，共有个，所以，故A错误；因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，共有个，所以，则数列为等比数列，故B正确；因为，所以，故数列不单调递增，又因为2=,所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；
5、因为，所以.设，则，所以，所以，从而数列的前项和为，故D正确.故选：BCD.2若正整数，只有1为公约数，则称，互质，对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，则（）A数列为等比数列B数列单调递增CD数列的前项和为，则的最大值为4解析：与互质的数为，共有个，所以，因为，所以数列为等比数列，因此选项A正确；因为，所以数列不是单调递增的，因此选项B不正确；因为是质数，所以与不互质的数为，共有个，所以，因此选项C正确；同理，两式相减，得，因此选项D不正确，故选：AC3已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如：，设数列中：，则（）A数列是单调递增数列 B的前8项中最大项为C当为素数时， D当为偶数时，解析：由题知数列前8项为：，不是单调递增数列，故选项A错误；由选项A可知，的前8项中最大项为，故选项B正确；当为素数时，与前个数互素，故，所以对正确；因为，故选项D错误.附加题1某软件研发公司计划对某软件进行升级，重要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑序列为，它的第n项为，若序列的所有项均为1，且，则_；记数列的前n项之积为.则使取得最大值的n值为_.（参考数据：，）2用表示自然数的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，10的正因数有1、2、5、10，.记，则（1）_.（2）_.
