1、1对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2,8)在曲线yf(x)上答案A解析由A知abc0；由B知f(x)2axb,2ab0；由C知f(x)2axb，令f(x)0可得x，则f3，则3；由D知4a2bc8.假设A选项错误，则得满足题意，故A结论错误同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.2已知函数f(x)x3bx2cxd(b，c，d为常数)，当x(0,1)时，f(x)取得极大值，当x(1,2)时，f(x)取得极小值，则2(c3)2的取值
2、范围是()A. B(，5)C. D(5,25)答案D解析因为f(x)3x22bxc，f(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f(0)0，f(1)0，即作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b轴)，2(c3)2表示可行域内一点到点P的距离的平方，由图象可知，P到直线32bc0的距离最小，即2(c3)2的最小值为25，P到点A的距离最大，此时2(c3)225，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2,1) D(2,1)答案C解析令f(x)3x230，得x1，且x1为函
3、数f(x)的极大值点，x1为函数f(x)的极小值点函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2，解得a1，且a2.故实数a的取值范围是2，1)4设函数f(x)ex(sinxcosx)(0x2015)，则函数f(x)的各极小值之和为()A BC D答案D解析因为f(x)2exsinx，所以x(2k，2k2)(kZ)时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x2k2(kZ)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2k2)e2k2(kZ)，又0x2015，所以f(x)的各极小值
4、之和Se2e4e2014，故选D.5已知点M在曲线y3ln xx2上，点N在直线xy20上，则|MN|的最小值为_答案2解析当点M处的曲线的切线与直线xy20平行时|MN|取得最小值令y2x1，解得x1，所以点M的坐标为(1，1)，所以点M到直线xy20的距离为2，即|MN|的最小值为2.6函数f(x)x33x26在x_时取得极小值答案2解析依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.因此，函数f(x)在x2时取得极小值7设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，
5、使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(
6、x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln x10.可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1
7、)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0)，由k0，知exkx0，令f(x)0，则x2，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数综上，f(x
8、)的减区间为(0,2)，增区间为(2，)(2)由题意知f(x)0，即exkx0在(0,2)内存在两个不等实根令g(x)exkx，g(x)exk，令g(x)0，xln k，则0ln k2，即1ke2.当0xln k时，g(x)0，g(x)为减函数当ln kx0，只需即得ek0.当a0时，f(x)0，f(x)在1,2上单调递增f(x)maxf(2)ln 2.当a0时，可令g(x)2ax2ax1，x1,2，g(x)的对称轴x且过点(0,1)当a0在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.当a0时，若g(1)0，即a1时，f(x)0，g(2)0，即a0，g(2)
9、0，即00在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.综上：f(x)max.11已知函数f(x)x3ax24(aR)，f(x)是f(x)的导函数(1)当a2时，对于任意的m1,1，n1,1，求f(m)f(n)的最小值；(2)若存在x0(0，)，使f(x0)0，求a的取值范围解(1)由题意得f(x)x32x24，f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或.当x在1,1上变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)701f(x)143对于m1,1，f(m)的最小值为f(0)4.f(x)3x24x的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，对于n1,1，f(n)的最小值为f(1)7.f(m)f(n)的最小值为11.(2)f(x)3x.若a0，当x0时，f(x)0时，f(x)0，使f(x0)0.若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，即a327，解得a3.综上，a的取值范围是(3，)
