1、-1-等差数列复习课ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.3.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.等差数列(1)公差:an+1-an=d(d为常数,nN+).(2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d.(3)前 n 项和公式:Sn=na1+(-1)2
2、=(1+)2.(4)a,b 的等差中项 A=+2.【做一做1-1】在等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为().A.1B.2C.3D.4 解析:a1+a5=2a3=10,a3=5.d=a4-a3=7-5=2.答案:B ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做 1-2】已知数列an为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若a4+a5+a6=4,则 cos S9 的值为()A.12B.22C.-12D.-22解析:a4+a5+a6=3a5=4,a5=12.S9=9(1+9)2=9252=9a5=34.
3、cos S9=cos34=-22.答案:D ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 2.等差数列的性质 已知数列an是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和.(1)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列,公差为kd.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(4)若数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).ZHISHISHULI知识梳理
4、 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做2-1】已知等差数列an的前n项和为Sn,Sm=3,S2m=10,则S3m=.解析:Sm=3,S2m=10,S2m-Sm=7,S3m-S2m=11.故S3m=3+7+11=21.答案:21【做一做2-2】已知数列an是等差数列,且a1+a2+a10=10,a11+a12+a20=20,则a41+a42+a50=.解析:S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,S50-S40,组成等差数列,且公差d=10,a41+a42+a50=S50-S40=10+(5-1)10=50.答案:50 ZHISH
5、ISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一等差数列的基本运算 分析:先由条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,再求Sn.解:设数列an的公差为d,前n项和为Sn,则 21+2=8,(1+3)2=(1+)(1+8),解得 1=4,=0 或 1=1,=3.故当 a1=4,d=0 时,Sn=4n;当 a1=1,d=3 时,Sn=32-2.反思在an=a1+(n-1)d和中共有五个量a1,an,n,d,Sn,只要知道其中三个,就可以求另外两个.Sn=a1n+(-1)2【例 1】在等差数列an中,a1+a3=
6、8,且42=a2a9,求数列an的首项、公差及前 n 项和.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练1】在等差数列an中,a1=1,a3=-3.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值.解:(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,由Sk=-35,得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k
7、=-5.又kN+,故k=7.所以 Sn=1+(3-2)2=2n-n2.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二等差数列的判断与证明【例2】已知等差数列an,公差d0,前n项和为Sn,a2a3=45,a1+a5=18.(1)求数列an的通项公式.(2)令,是否存在一个非零常数c,使数列bn也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.分析:本题第(1)问是求等差数列的通项公式,需要知道首项a1和公差d的值,由条件a2a3=45,a1+a5=18建立方程组不难求得;本题第(2)问是构造一
8、个等差数列bn,可考虑利用等差数列的定义,研究使bn+1-bn(nN+)为一个常数时需要满足的条件.bn=+(N+)ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)由题设,知an是等差数列,且公差 d0,则由 23=45,1+5=18,得 (1+)(1+2)=45,1+(1+4)=18,解得 1=1,=4.an=4n-3(nN+).(2)由 bn=+=(1+4-3)2+=2-12+,c0,可令 c=12,得到bn=2n.bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(nN+),数列bn是公差为 2 的等差
9、数列.即存在一个非零常数 c=12,使数列bn也为等差数列.反思证明等差数列时,在解答题中,用等差中项法或定义法;在客观题中,用通项公式法、前n项和公式法.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足a1=12,an=-2SnSn-1(n2 且 nN+).(1)求证:数列 1 是等差数列;(2)求 Sn 和 an.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三(
10、1)证明当 n2 时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式知若 Sn-10,则 Sn0.S1=a10,由递推关系知 Sn0(nN+).由式得 1 1-1=2(n2).1 是等差数列,其中首项为 11=11=2,公差为 2.(2)解 1=11+2(n-1)=11+2(n-1),Sn=12.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=-12(-1).当 n=1 时,a1=S1=12不适合上式,an=12,=1,-12(-1),2.ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三
11、 题型三等差数列的性质及应用 【例 3】设 Sn 是等差数列an的前 n 项和,若 36=13,则 612=().A.310 B.13C.18 D.19解析:设等差数列an的前 n 项和为 Sn,则 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等差数列,设其公差为 d.由 36=13,得S6=3S3,S6-S3=2S3.d=S3.S9-S6=3S3,S12-S9=4S3.S12=S3+2S3+3S3+4S3=10S3.612=310.故选A.答案:A ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训
12、练3】Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.解析:S2=S6,S6-S2=a3+a4+a5+a6=0.2(a4+a5)=0,即a4+a5=0.a5=-a4=-1.答案:-1 ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123451若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于().A.12B.13C.14 D.15 解析:由题意得 S5=5(1+5)2=5a3=25,则 a3=5,公差 d=a3-a2=2,故a7=a2+5d=3+52=13.答案:B ZHISHISHULI知识梳理 SUIT
13、ANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123452设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=2,则a9=()A.2B.4C.6D.8 解析:S8=(1+8)82=4(1+8)=43,a1+a8=a3.a1+a8=a3+a6=a3,a6=0.又a7=2,d=2,a9=a7+2d=6.答案:C ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123453已知数列an的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4ak7,则k=()A.6B.7C.8D.9 解析:Sn=n2-8n,当n2时,Sn-1=
14、(n-1)2-8(n-1)=n2-2n+1-8n+8,an=Sn-Sn-1=2n-9.当n=1时,a1=S1=1-8=-7,符合上式,an=2n-9.4ak7,42k-97,即 132k16,解得 132 8.kN+,k=7.答案:B ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123454已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各个和中也为确定的常数的是()A.S6B.S11C.S12D.S13 解析:a2+a6+a10=3a6,a6是定值.S11=11(1+11)2=116,11是确定的常数.答案:B ZHISHISHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 123455一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,求该数列的公差d.解:设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得 奇+偶=354,偶 奇=32 27,解得 偶=192,奇=162.因为 S 偶-S 奇=6d,所以 d=192-1626=5.
