1、云南省昆明市第八中学2020-2021学年度高二数学上学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题：，总有，则为（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，总有D. ，使得【答案】B【解析】【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题：，总有，所以：，使得，故选：B.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.2. “二万五千里长征”是19
2、34年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为的样本参加活动，其中高三年级抽了人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数.【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为的样本，其中高三年级抽人，高二年级抽人，所以高一年级要
3、抽取人，因为该校高中学共有名学生，所以各年级抽取的比例是，所以该校高一年级学生人数为人，选C.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题型.3. 已知椭圆（ab0）的离心率为，则A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.4. 某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是（ ）A. B. C. D.
4、 【答案】A【解析】【分析】由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式计算可得满足题意的概率值.【详解】由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率是：.故选A.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）A. 甲的化学成绩领
5、先年级平均分最多.B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C. 甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.【答案】A【解析】【分析】根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.故选：A.【点睛】本题考查统计知
6、识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.6. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得到关于m的方程，解方程求得m的值即可确定双曲线方程.【详解】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为，由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,
7、则输出结果n=( ) A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环， 则，判断，否，循环， 则，判断，是，输出，结束.故选择C.8. 设x、yR，则“|x|4且|y|3”是“1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据题意作出图形，然后根据充分条件、必要条件的概念进行判断即可.【详解】“|x|4且|y|3”表示的平面区域M为矩形区域，“1”表示的平面区域N为椭圆1及其内部，则如图显然N在M内，故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的概念以及椭圆的图象
8、，识记概念，属基础题.9. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意得圆的圆心为，半径为.要使直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得.由几何概型概率公式，得在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
9、但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.10. 下列命题中，错误的是（ ）A. ，B. 在中，若，则C. 函数图象的一个对称中心是D. ，【答案】D【解析】【分析】由的范围可判断A；由大边对大角结合正弦定理可判断B；由正切函数的性质可判断C；由可判断D.【详解】对于A，当时，故，故A正确，不符合题意；对于B，在中，由大边对大角可得若，则，由正弦定理可得，故B正确，不符合题意；对于C，函数图象的一个对称中心是，故C正确，不符合题意；对于D，故不存在，使得，故D错误，符合题意.故选：D.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的
10、交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3C. D. 4【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线
11、段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 设、分别是椭圆C：左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出点的坐标，利用两点间的距离公式求得，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率.【详解】设点坐标为，所以有，解得，因为，
12、所以直线的方程为，所以有点坐标为，所以有，所以，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求法，方法如下：（1）根据题意，求得点的横坐标，代入直线方程求得点的纵坐标；（2）利用两点间距离求得，；（3）根据椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为；（4）之后利用离心率的定义求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆长轴长是短轴长的3倍且经过点，则该椭圆的标准方程为_.【答案】或者【解析】【分析】分椭圆的焦点在轴与椭圆的焦点在轴讨论，再将与经过点，结合分析即可求得答案【详解】若椭圆的焦点在轴，椭圆经过点，又椭圆长轴长是短轴长的3倍，此时椭圆的方
13、程为：；若椭圆的焦点在轴，则，同理可得，椭圆的方程为故答案为或【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单性质，考查分类讨论思想与方程思想，属于中档题14. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活冷庐杂识卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱.完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是_.【答案】【解析】【分析】设大正方形边长为1，求出大正方形面积和阴影部
14、分的面积，由概率公式计算可得【详解】设大正方形边长为1，大正方形面积为，阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形，由图可知阴影部分正方形的边长为，阴影部分大的等腰直角三角形的直角边长为，小的等腰直角三角形的直角边长为，阴影部分的面积为，所求概率为故答案为：【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分的面积属于基础题15. 设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_当点不在轴上时，的周长是6当点不在轴上时，面积的最大值为存在点，使的取值范围是【答案】【解析】【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证各选项正误即可.【详解】对于，由椭圆方程可知，则，根据椭圆定义，的周长为，
15、故正确；对于，设，则面积的最大值为，故正确；对于，可知，当点P位于椭圆短轴的一个端点时，最大，此时，又，则为正三角形，所以不存在点，使，故错误；对于，可知，当点P为椭圆右顶点时，取最大值为，当点P为椭圆左顶点时，取最小值为，故的取值范围是，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义，理解椭圆顶点处的特点.16. 已知命题：方程表示焦点在x轴上的椭圆命题：实数满足，其中若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先求出命题和对应的集合，由题可得或，即可列式求出.【详解】对于命题，方程表示焦点在x轴上的椭圆，解得，故命题对应的集合
16、为，对于命题，由可得，故命题对应的集合为或，是的必要不充分条件，或，或，解得或，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（）求不等式的解集；（）若函数的最小值为M，正数a，b满足，求的最小值.【答案】（）；（）1.【解析】
17、分析】（）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后分类讨论求解不等式的解集；（）由绝对值三角不等式求出函数的最小值为M，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：（）由，得或或解得或，故不等式的解集为（）由绝对值三角不等式的性质，可知，当且仅当时取“=”号，所以.，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误18. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）的大小；（）的面积 .条件：； 条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计
18、分.【答案】（）（）.【解析】【分析】若选择条件：.（）根据余弦定理求出；（）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.若选择条件：（）根据正弦定理可求出；（）根据正弦定理求出，根据三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求出，再根据面积公式可得结果.【详解】若选择条件：.（）因为，由余弦定理，因为，所以.（）由正弦定理，得，又因为，所以.若选择条件：.（）由正弦定理，得.又因为，所以，又因为，所以.（）由正弦定理，得，又因为，所以.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.19. 如图，四
19、边形为正方形，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算，得线线垂直，从而有线面垂直；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦（注意正负）【详解】（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，依题意有，则，所以，即，故平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）有，设是平面的法向量，则即，取，
20、则，.设平面的法向量为，则即，取，则，所以，故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求二面角，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系后，用向量的数量积证明线线垂直，得线面垂直，再得面面垂直，用二面角两个面的法向量的夹角来求二面角20. 西尼罗河病毒（WNV）是一种脑炎病毒，WNV通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率
21、，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y（百盒）的统计数据如下：投入量x（千克）12345产量y（百盒）1620232526由相关系数可以反映两个变量相关性的强弱，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱（1）计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？参考数据：参考公式：相关系数，线性回归方程中，【答案】（1），x与y具有很强的相关性；（2）54.2千克【解析】【分析】（1）根据题中数据分别计算出、代入题中
22、公式可得的值，可得答案;（2）由题中数据计算出，可得y关于x的线性回归方程，可得当（百盒）时，x的值，可得答案.【详解】解：（1），则所以x与y具有很强的相关性（2）由（1）得，所以y关于x的线性回归方程为当（百盒）时，（千克）故要使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入54.2千克利巴韦林【点睛】本题主要考查线性回归方程及相关系数r的相关知识，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.21. 已知数列的前项和为，且满足.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列（1）求数列与的通项公式（2）若，数列的前项和为恒成立，求的范围【答案】（1），；（2）.
23、【解析】【分析】（1）由化简可得成等比，求出的通项，再由可求出的通项；（2）因为，用错位相减法求得，所以.【详解】解：（1）因为，所以所以所以成等比，首项，公比q所以由题意知，设公差为d则，即，解得或（舍）所以（2）所以两式相减得所以所以【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，分列乘减算四步进行.22. 已知椭圆.（）若，求椭圆的离心率及短轴长；（）如存在过点，且与椭圆交于两点的直线，使得以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，求的取值范围.【答案】（）离心率，短轴长为；（）.【解析】【详解】（）因为，所以，.所以，.所以椭圆的离心率为，短轴长为.（）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，由得.所以，.因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以.所以，即.所以.即.由，所以.当直线的斜率不存在时，因为以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，所以.所以，即.综上所述，的取值范围是.考点：直线与圆锥曲线的位置关系- 22 -
