1、模块卷(一)时间:120分钟分值:145分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-3答案By=x-2-(x+1)(x-2)2=-3(x-2)2,y|x=1=-3,因为曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,所以(-3)-ab=-1,解得ab=-13,故选B.2.(2020新疆昌吉期中,6)若a0,b0,a+2b=3,
2、则3a+6b的最小值为()A.5B.6C.8D.9答案D本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养.a0,b0,a+2b=3,3a+6b=133a+6b(a+2b)=133+6ba+6ab+121315+26ba6ab=9,当且仅当6ba=6ab,即a=b=1时取等号,所以3a+6b的最小值为9.故选D.3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x(0,1)时,f(x)=sin2x,则f-52+f(1)+f(2)=()A.-2-22B.-1-22C.-22D.1-22答案Cf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,f(0)=0,f(1)=
3、f(-1)=-f(1),f(1)=0,f-52+f(1)+f(2)=-f52+f(1)+f(0)=-f12+0+0=-sin4=-22.4.(2020北京,9,4分)已知,R,则“存在kZ使得=k+(-1)k”是“sin=sin”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C(1)充分性:已知存在kZ使得=k+(-1)k,(i)若k为奇数,则k=2n+1,nZ,此时=(2n+1)-,nZ,sin=sin(2n+-)=sin(-)=sin;(ii)若k为偶数,则k=2n,nZ,此时=2n+,nZ,sin=sin(2n+)=sin.由(i)(ii)知,
4、充分性成立.(2)必要性:若sin=sin成立,则角与的终边重合或角与的终边关于y轴对称,即=+2m或+=2m+,mZ,即存在kZ使得=k+(-1)k,必要性也成立,故选C.5.(2017山东文,9,5分)设f(x)=x,0x1,2(x-1),x1.若f(a)=f(a+1),则f1a=()A.2B.4C.6D.8答案C本题考查分段函数与函数值的计算.解法一:当0a1,f(a)=a,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得a=2a,a=14.此时f1a=f(4)=2(4-1)=6.当a1时,a+11,f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)
5、=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.综上,f1a=6,故选C.解法二:当0x0),则at2+at+3a-60对t0恒成立,所以a6t2+t+3,又6t2+t+363=2,所以a2.故选A.7.(2020新高考,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3答案Df(x)是定义在R上的奇函数,f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)在(-,0)上单调递减,f(x-1)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上也单调递减,且过(-1,0
6、)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1x0时,f(x-1)0,xf(x-1)0;当1x3时,f(x-1)0,xf(x-1)0.综上,满足xf(x-1)0的x的取值范围是-1,01,3.故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a0,下列有关方程x3+x2-x-a=0的根的说法正确的是()A.可以有三个负根B.可以有两个负根和一个正根C.可以有两个正根和一个负根D.可以有三个正根答案BC方程x3+x2-x-a=0可化为x3+x2-x=
7、a.令函数f(x)=x3+x2-x,则f(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).当x13时,f(x)0,当-1x13时,f(x)0,f130,t3,D错误.故选AC.10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数答案ABC本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.f(x+1)为奇函数,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x)=-f(x+2),又f(x+2)为奇函数,f(-x+2)=-f(x+2),f(-x)=-f
8、(x+4),-f(x+2)=-f(x+4),f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的奇函数,f(x+4)是奇函数.由于f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f(x)=x+sinx-xcosx的定义域为-2,2),则()A.f(x)为奇函数B.f(x)在0,)上单调递增C.f(x)恰有4个极大值点D.f(x)有且仅有4个极值点答案BD因为f(x)的定义域为-2,2),所以f(x)是非奇非偶函数.f(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+
9、xsinx,当x0,)时,f(x)0,则f(x)在0,)上单调递增,显然f(0)0,令f(x)=0,得sinx=-1x,分别作出y=sinx,y=-1x在区间-2,2)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间-2,2)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间-2,2)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,故选BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A=x|-1x2,B=x|1x0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.答案4解析12a+12b+8a+b=a+b2ab+
10、8a+b=a+b2+8a+b2a+b28a+b=4,当且仅当a+b2=8a+b,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号.又ab=1,a=2+3,b=2-3或a=2-3,b=2+3时取等号,12a+12b+8a+b的最小值为4.14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f(x)=lnx,x0,12x-2,x0,若f(f(a)0,则实数a的取值范围为.答案-log23,01e,e解析本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.令f(x)0,即lnx0,x0或12x-20,x0,解得0x1或-1x0,所以f(f(a)0等价于0f(a)1或-1f(a)0,所以00或00或-112a-20,a0
11、,解得-log23a0或1eae.15.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.答案-3解析本题考查利用导数研究函数的极值和最值.f(x)=2x3-ax2+1,f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a0,则x0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当0xa3时,f(x)a3时,f(x)0,f(x)为增函数,x0时,f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,fa3=0,a=3.
12、f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1f(x)+-f(x)-4增1减0f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f(x)=log212x+a.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.解析(1)因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,求得a=0.
13、(2分)当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(4分)(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数,所以12x+a0恒成立.即a-12x恒成立,由于-12x(-,0),(6分)故只要a0即可.(7分)(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log212+a.(8分)由题设得log2(1+a)-log212+a2a+120,a+14a+2.(11分)故-1212.(2)由f(x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解得x=1或x=52.因为x1212,111,525252,+f(x)-0+
14、0-f(x)12e-12012e-52又f(x)=12(2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在区间12,+上的取值范围是0,12e-12.18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,aR.(1)求f(x)在0,2上的最小值g(a);(2)若关于x的方程f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3有正实数根,求实数a的取值范围.解析(1)当a=0时,f(x)=-2x+1在0,2上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=-3.当a0时,f(x)=ax2-2x+1-a是关于x的二次函数,其图象的对称轴为x=1a.当a0时,x=1a0时,x=1a0,当
15、1a(0,2),即a12时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,2上单调递增,故最小值g(a)=f1a=1-a-1a;当1a2,+),即012.(2)f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3即a4x-2x+1+1-a=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+1+3,化简得4x-a2x+2=0,令t=2x(t0),则方程变形为t2-at+2=0,根据题意得,原方程4x-a2x+2=0有正实数根,即关于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的实数根,而方程t2-at+2=02t+t=a在(1,+)上有实根,令F(t)=2t+t,t(1,+),则F(t)在(1,+)上的值域为22
16、,+),故a22,+).19.(12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a0,则当x(-,0)a3,+时,f(x)0;当x0,a3时,f(x)0.故f(x)在(-,0),a3,+单调递增,在0,a3单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)单调递增;若a0;当xa3,0时,f(x)0.故f(x)在-,a3,(0,+)单调递增,在a3,0单调递减.(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在0,a3单调递减,在a3,1单调递增,所以f(x)在0,1的最小值为fa3=-a327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a327+2,M=4-a,0
17、a2,2,2a3.所以M-m=2-a+a327,0a2,a327,2a3.当0a2时,可知2-a+a327单调递减,所以M-m的取值范围是827,2.当2a3时,a327单调递增,所以M-m的取值范围是827,1.综上,M-m的取值范围是827,2.20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex-aex是奇函数.(1)求实数a的值;(2)求函数y=e2x+e-2x-2f(x)在x0,+)上的值域;(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)0时,h(t)h(),+),所求值域为2-2,+).(9分)(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-1e
18、x为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,所以g(x3+1)+g(1-3x2)0等价于g(x3+1)g(3x2-1).(10分)又g(x)=f(x)-2=ex+1ex-22-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,所以x3+13x2-1,即x3-3x2+20,(13分)即(x-1)(x2-2x-2)0,所以x1-3或1x0,设函数g(x)=|f(x)|,g(x)在-1,1上的最大值不小于3,求a的取值范围.解析本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决
19、问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)f(x)=6x2-2ax,由f(0)=0,f(0)=2,得曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2.(2)函数f(x)的定义域为R,f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),令f(x)=0,解得x1=0,x2=a3,若a=0,则f(x)=6x20,f(x)在R上单调递增;若a0,当x0,f(x)单调递增,当0xa3时,f(x)a3时,f(x)0,f(x)单调递增;若a0,当x0,f(x)单调递增,当a3x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增.(3)若a0,函数f(x)的单调递减区间为0,a3,单调递增区间为(-,0),a3,+.当a31,即a3时,f(x)在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,则g(x)max=max|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|=maxa,2,|4-a|3,则a3;当0a31,即0a0,则g(x)max=max|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|=maxa,2,4-a,若g(x)max3,则4-a3,解得a1,又0a3,0a1.综上,a的取值范围为(0,13,+).
