1、6.1数列的概念及表示专题检测1.在数列an中,a1=-14,an=1-1an-1(n2,nN*),则a2018的值为()A.-14B.5C.45D.54答案B在数列an中,a1=-14,an=1-1an-1(n2,nN*),所以a2=1-1-14=5,a3=1-15=45,a4=1-145=-14,所以an是以3为周期的周期数列,所以a2018=a6723+2=a2=5,故选B.2.(2018广东广州一模,9)已知数列an满足a1=2,2anan+1=an2+1,设bn=an-1an+1,则数列bn是()A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列答案D由a1=2及2anan+1=an2+
2、1,得an+1=an2+12an2an212an=1,所以0bn=1-2an+11,bn+1=an+1-1an+1+1=an2+12an-1an2+12an+1=an2-2an+1an2+2an+1=(an-1)2(an+1)2;所以bn+1bn=an-1an+1=bn10,若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2C.(2,3)D.2411,3答案C数列an是递增数列,f(x)=(3-a)x-6,x10,ax-9,x10,an=f(n)(nN*),3-a0,a1且f(10)f(11),1a3且10(3-a)-6a2,解得2a3
3、,故实数a的取值范围是(2,3),故选C.6.(2019浙江“超级全能生”联考,10)已知数列an满足a1=2,an+1=12an+1an(nN*),设bn=an-1an+1,则b100=()A.3-198B.3-298C.3-299D.3-2100答案Can+1=12an+1an=an2+12an,且bn=an-1an+1,bn+1=an+1-1an+1+1=an2+12an-1an2+12an+1=(an-1)2(an+1)2=bn2,即bn+1=bn2,取两边对数得lgbn+1=2lgbn,lgbn+1lgbn=2,则数列lgbn是以lgb1为首项,2为公比的等比数列,lgb1=lg13
4、,lgbn=2n-1lg13,则bn=3-2n-1,b100=3-299,故选C.7.(2019皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列an满足:an=1-1an+1,且a1=2,则a2019=.答案12解析由an=1-1an+1可得an+1=11-an,结合a1=2,得a2=11-a1=-1,a3=11-a2=12,a4=11-a3=2=a1,所以数列an是周期为3的周期数列,则a2019=a3+3672=a3=12.8.(2018浙江温州二模,14)若递增数列an满足:a1=a,a2=2-a,an+2=2an,则实数a的取值范围为,记数列an的前n项和为Sn,则S2n=.答案23,1;2
5、n+1-2解析由题可知,该数列的奇数项与偶数项分别是等比数列,且公比均为2,从而a2n-1=a2n-1,a2n=(2-a)2n-1,要使该数列为单调递增数列,仅需a2n-1a2n,a2na2n+1对任意的nN*都成立,即a2n-1(2-a)2n-1,(2-a)2n-1a2n,即a2-a,2-a2a,解得23a1.S2n=k=1na2k-1+k=1na2k=a(1-2n)1-2+(2-a)(1-2n)1-2=2(2n-1)=2n+1-2.9.(202053原创题)已知an为单调递增数列,若对任意的正整数n,均有anan+1=2n成立,则a1的取值范围是.答案(1,2)解析由题可知anan+1=2
6、n,an+1an+2=2n+1,两式相除得an+2an=2,从而an的奇数项和偶数项分别为等比数列,要使得an为单调递增数列,仅需a1a2a3,即a12a12a1,解得1a10(nN*).(1)写出a1,a2,a3的值,并求出数列an的通项公式;(2)设bn=Sn,Tn为数列bn的前n项和,求证:n2+n2Tn0,所以a1=2,由S2=a22+2a24=2+a2得a2=4,同理得a3=6.(3分)当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+2an4-an-12+2an-14,所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为an0,所以an-an-1-2=0,(5分)所以数列an是等差数列,a
7、n=2n.(7分)(2)证明:由(1)得Sn=n(n+1),则bn=n(n+1),(10分)所以bnn,则Tnn2+n2.(12分)又bn=n(n+1)n+(n+1)2=n+12,所以Tnn(n+1)2+n2=n2+2n2.(14分)综上可得n2+n2Tn0,所以2n+2-16n2+n-6,设f(n)=2n+2-16n2+n-6,则f(n+1)-f(n)=2n+3-16(n+1)2+(n+1)-6-2n+2-16n2+n-6=(n2-n-8)2n+2+32n+32(n2+3n-4)(n2+n-6),当n4时,n2-n-80,n2+3n-40,n2+n-60,所以f(n+1)f(n),又可验证当
8、n=3时,f(4)-f(3)0也成立,所以当n3时,数列f(n)为递增数列,所以f(n)min=f(3)=83,即83.综上所述,实数的取值范围为2,83.12.(201953原创题)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a0,xR)有且只有一个零点,数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设cn=1-4an(nN*),定义所有满足cmcm+10得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=1,n=1,2n-5,n2.(2)由题意得cn=-3,n=1,1-42n-5,n2.由cn=1-42n-5(n2)可知,当n5时,恒有cn0.又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-13,c5=15,c6=37,所以c1c20,c2c30,c4c50,所以数列cn的变号数为3.
