1、3.3二次函数与幂函数专题检测1.(2020四川宜宾第四中学第二次月考,6)已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关系是()A.acbB.bacC.bcaD.cab答案Bf(x)=x-3在(0,+)上是减函数,0.40.60.60.60.60.4,所以bac,故选B.2.(多选题)(202053原创题)若函数y=x2-4x-4在区间0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数a的值可能是()A.2B.3C.4D.5答案BC令y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,作出函数y=f(x)的部分图象,如图,f(0)=
2、f(4)=-4,f(x)min=f(2)=-8.因为函数在区间0,a)上既有最大值又有最小值,所以区间0,a)必须包含2,且f(a)-4,所以20,解得m=1,故选B.4.(2018河北保定第一次模拟,8)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=g(x)f(x)+1+1,则h(2018)+h(2017)+h(2016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=()A.0B.1C.4036D.4037答案D因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数,所以f(x)=x2,所以h(x)=g(x)x2+1+1,因为g(
3、x)是R上的奇函数,因此h(x)+h(-x)=g(x)x2+1+1+g(-x)x2+1+1=2,h(0)=g(0)0+1+1=1,因此h(2018)+h(2017)+h(2016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=20182+1=4037,选D.5.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)=-x2-2x+1,x0,f(x-1),x0,则y=f(x)-x的零点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C由条件知f(x)=-x2-2x+1,x0,-(x-n)2+2,nxbcB.acbC.cabD.cba答案C由题图知,函数
4、y=ax是指数函数,且x=1时,y=a(1,2);函数y=xb是幂函数,且x=2时,y=2b(1,2),b(0,1);函数y=logcx是对数函数,且x=2时,y=logc2(0,1),c2.综上,a、b、c的大小关系是cab.故选C.8.(2020海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1)12(3x+t)12的解集为()A.-53,-1(4,+)B.(-1,4)C.(4,+)D.(-,-1)(4,+)答案A不等式(x2+1)12(3x+5)12等价于x2+13x+50,解得-53x4,所以原不等式的解集为-53,-1(4,+).故选A.9.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于
5、x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1,x2和x3,x4,若x1x3x2x4,则a的取值范围是.答案-1a1解析由x2-ax-2=0得a=x-2x(x0),由x2-x-1-a=0得a=x2-x-1.在同一个坐标系中画出y=x-2x和y=x2-x-1的图象(如图).由x-2x=x2-x-1化简得x3-2x2-x+2=0,即(x+1)(x-1)(x-2)=0,解得x=-1或x=1或x=2.当x=2或x=-1时,y=1;当x=1时,y=-1,所以函数y=x-2x与y=x2-x-1的图象有3个交点:(-1,1),(1,-1),(2,1).作直线y=a与y=x-2x的图象相交,
6、且交点横坐标从左到右依次为x1,x2,直线y=a与y=x2-x-1的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为x3,x4,若满足x1x3x2x4,则由图象知,-1a0,解得0m2,又mN*,所以m=1.11.(2019河北邯郸模拟,16)若正实数a,b满足a+b=1,则函数f(x)=ax2+3+1bx-a的零点的最大值为.答案-9+852解析设f(x)=ax2+3+1bx-a的零点为x1,x2,且x1x2,则x2=-3a+1ab+3a+1ab2+42,令t=3a+1ab=3b+1b-b2,0b1,求导得t=3b2+2b-1(b-b2)2,0b13时,t13时,t0,函数递增,b=13时,t取得最小值
7、9,t9,x2=-t+t2+42=(-t+t2+4)(t2+4+t)2(t2+4+t)=2t2+4+t在t9,+)上递减,t=9,即a=23,b=13时,x2取得最大值-9+852.思路分析问题转化为求x2=-3a+1ab+3a+1ab2+42的最大值,令t=3a+1ab=3b+1b-b2(0b1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值;(2)若对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数a的取值范围.解析(1)f(x)=(x-a)2+5-a2(a1),f(x)在1,a上是减函数,又f(x)的定义域和值域均为1,a,f(1)=a,f(a)=1,即1-
8、2a+5=a,a2-2a2+5=1,解得a=2.(2)对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,f(x)max-f(x)min4.若a2,a1,a+1,且(a+1)-aa-1,当x1,a+1时,f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.(6-2a)-(5-a2)4,解得-1a3,又a2,2a3.若1a2,则f(x)max=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max-f(x)min4显然成立.综上,1147-20135,所以当k427时,f(x)kx对任意的x(0,3恒成立,故实数k的最小值为427.14.(20
9、19山西晋中模拟,20)对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b-1(a0),若存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数m的不动点.(1)当a=1,b=-2时,求f(x)关于参数1的不动点;(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点,求a的取值范围;(3)当a=1,b=2时,函数f(x)在(0,2上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围.解析(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,由题意得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,故当a=1,b=-2时,f(x)关于参数1的两个不动点为-1和3.(2)f(
10、x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0)恒有关于参数1的两个不动点,ax2+(b+1)x+b-1=x,即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,=b2-4ab+4a0(bR)恒成立,于是=(-4a)2-16a0,解得0a1,故当bR且f(x)恒有关于参数1的两个不动点时,0a0,h(2)=11-2m0,=(3-m)2-40,0m-322,解得5m112.故m的取值范围是5,112.思路分析(1)当a=1,b=-2时,解方程f(x)=x即可;(2)f(x)=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,两次使用判别式即可得到a的取值范围;(3)问题转化为x2+(3-m)x+1=0在(0,2上有两个不等实数解,利用二次函数的图象列不等式组可得m的取值范围.
