1、第二章 2.4 2.4.2A级基础巩固一、选择题1三次方程x3x22x10的根不可能所在的区间为(C)A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析f(2)10，f(0)10，f(1)10，三次方程x3x22x10的三个根分别在区间(2，1)、(1,0)、(1,2)内，故选C2用二分法求函数f(x)x32的零点时，初始区间可选为(B)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析f(1)1，f(2)6，f(1)f(2)0，故选B3若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.3
2、75)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为(C)A1.2B1.3C1.4D1.5解析f(1.406 5)0，f(1.406 5)f(1.438)0，又1.4(1.406 5,1.438)，故选C4二次函数f(x)ax2bxc(a0，xR)的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6不求a、b、c的值，可以判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是(A)A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)解析f(3)f(1)0, f(2)f(4)0，故选A二、填空
3、题5已知二次函数f(x)x2x6在区间1,4上的图象是一条连续的曲线，且f(1)60.由零点存在性定理可知函数在1,4内有零点用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)_2.25_.解析区间1,4的中点为2.5，f(2.5)2.522.562.25.6已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x123456f(x)136.115.63.910.952.5232.1则f(x)的零点至少有_3_个解析因为f(2)0，f(3)0，f(5)0，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，故f(x)的零点至少有3个三、解答题7求方程x5x33x230的无
4、理根(精确到0.01).解析令f(x)x5x33x23，则f(x)(x21)(x33)显然方程f(x)0有两个有理根，即x11，x21，则无理根就是方程x330的根令g(x)x33，以下用二分法求函数g(x)的零点由于g(1)20，故可以取1,2作为计算的初始区间，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02g(1)2，g(2)51,2x01.5g(x0)0.3751,1.5x11.25g(x1)1.046 91.25,1.5x21.375g(x2)0.400 41.375,1.5x31.437 5g(x3)0.029 51.437 5,1.5x41.468 75g(x
5、4)0.168 41.437 5,1.468 75x51.453 125g(x5)0.068 41.437 5,1.453 125x61.445 312 5g(x6)0.019 21.437 5,1.445 312 5x71.441 406 25g(x7)0.005 31.441 406 25,1.445 312 5由于区间1.441 406 25,1.445 312 5的长度1.445 312 51.441 406 250.003 906 250.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.8求方程x3x10在1,1.5的一个实根(精确到0.1).解析设
6、f(x)x3x1，f(1)10，方程在1,1.5内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：第1次第2次第3次第4次第5次左端点11.251.251.312 51.312 5右端点1.51.51.3751.3751.343 751.312 51.3,1.343 751.3，方程在区间1，1.5的零点精确到0.1的近似值是1.3.B级素养提升一、选择题1在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)0, f(0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(C)A0.68B0.72C0.7D0.6解析已知f(0.64)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64,0.
7、72，又0.68(0.640.72)/2，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68,0.72上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值2用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是(B)A(2,4)B(2,3)C(3,4)D无法确定解析f(2)f(4)0, f(2)f(3)0，x0(2,3)二、填空题3给出以下结论，其中正确结论的序号是_.函数图象通过零点时，函数值一定变号；相邻两个零点之间的所有函数值
8、保持同号；函数f(x)在区间a，b上连续，若满足f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上一定有实根；“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效解析零点有变号零点与不变号零点，故不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故不对据零点的性质知都正确4设函数f(x)，若f(4)2, f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数是_3_.解析由已知得，f(x)，作图象如图所示由图象可知f(x)x的解的个数为3.三、解答题5已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有一个零点.(1)求实数a的取值范围；(2)若a，用二分法求方程f(x)0在区间(1,1)上的根解析(1)若a
9、0，则f(x)4，与题意不符，a0.由题意得f(1)f(1)8(a1)(a2)0，即或，1a2，故实数a的取值范围为1a0, f(0)0, f(1)0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(x)0在0,1内有两个实根.解析f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0，abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.在0,1内选取二等分点，则f()abca(a)a0，f(1)0，f(x)在区间(0，)和(，1)上至少各有一个零点，又f(x)最多有两个零点，从而f(x)0在0,1内有两个实根2一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？解析对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的如图所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置根据二分法的思想，具体分析如下：第1次取中点把焊接点数减半为64232个，第2次取中点把焊接点数减半为32216个，第3次取中点把焊接点数减半为1628个，第4次取中点把焊接点数减半为824个，第5次取中点把焊接点数减半为422个，第6次取中点把焊接点数减半为221个，所以至多需要检测6次
