1、1若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的极大值解：(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是，解得，故所求的函数解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值.2已知函数f(x)(2a)lnx2ax(aR)(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)当a0时，求f(x)的单调区间解：(1)依题意知f(x)的定义域为(0，)
2、当a0时，f(x)2lnx，f(x).令f(x)0，解得x.当0x时，f(x)时，f(x)0.又f()22ln2，f(x)的极小值为22ln2，无极大值(2)f(x)2a.当a2时，令f(x)0得0x；令f(x)0得x.当2a，令f(x)0得0x；令f(x)0得x.当a2时，f(x)0.综上所述，当a2时，f(x)的递减区间为(0，)和(，)，递增区间为(，)；当a2时，f(x)在(0，)上单调递减；当2a0.故选C.2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b) B(a，c)C(b，c) D(ab，c)解析：选A.f(x)3ax22b
3、xc，由题意知1、1是方程3ax22bxc0的两根，11，b0，故选A.3函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是()A2 B1C0 D由a确定解析：选C.f(x)3x26x33(x1)20恒成立，f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值，选C.4已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x，且f(x)的图象过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1 B0C1 D1解析：选B.由f(x)0，得极值点为x0和x1.仅当x0时，f(x)取得极大值故x的值为0.5设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f
4、(x)g(x)0，则当axf(b)g(x) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b) Df(x)g(x)f(b)g(a)解析：选C.令yf(x)g(x)，则yf(x)g(x)f(x)g(x)，由于f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以y在R上单调递减，又xf(b)g(b)二、填空题6(2012辽阳质检)函数f(x)x的单调减区间为_解析：f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x0x2，f(x)0x2，故函数在(，)及(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，x2是极小值点，故c2不合题意，同理可验证c6符合题意，所以c6.答案：68直线ya与函数f(x)x33x
5、的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可求得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点答案：(2,2)三、解答题9(2011高考天津卷)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6
6、x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，所以分两种情况讨论：若t0，则0，则t0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增f(0)t10，f(1)6t24t3644230.所以对任意t2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点当01，即0t2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增若t(0,1，ft3t1t30，所以f(x)在内存在零点若t(1,2)，ft3(t1)t310，所以f(x)在内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点综上，对任意t
7、(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点10已知函数f(x)x2bsinx2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解：(1)F(x)f(x)2x2bsinx22x2bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsinx(x)2bsin(x)0，即2bsinx0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)alnx，g(x)x22xalnx，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间
8、(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立 .(2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求11(探究选做)已知关于x的函数g(x)alnx(aR)，f(x)x2g(x)(1)试讨论函数g(x)的单调区间；(2)若a0，试证f(x)在区间(0,1)内有极值解：(1)由题意知，g(x)的定义域为(0，)g(x)alnx，g(x).若a0，则g(x)0，则由g(x)0，得x.x(0，)时，g(x)0.所以(0，)为其单调递减区间，(，)为其单调递增区间(2)证明：f(x)x2g(x)，f(x)的定义域也为(0，)，且f(x)(x2)g(x)2x.令h(x)2x3ax2，x(0，)，因为a0，则h(x)6x2a0，所以h(x)为(0，)上的单调递增函数，又h(0)20，所以在区间(0,1)内h(x)至少存在一个变号零点x0，且x0也是f(x)的一个变号零点，即f(x)在区间(0,1)内不是单调函数，故f(x)在区间(0,1)内有极值
