1、核心必知1二维形式的柯西不等式(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)二维形式的柯西不等式的推论：(ab)(cd)()2(a，b，c，d为非负实数)；|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c，dR)2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立3二维形式的三角不等式(1)(x1，y1，x2，y2R)(2)推论：，(x1，x2，x3，y1，y2，y3R)问题思考1在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？提示：不可以当bd0时，柯西不等式成立，但
2、不成立2不等式(x1，x2，y1，y2R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立.ac，设a，b，c为正数，求证：(abc)精讲详析本题考查柯西不等式的应用解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可由柯西不等式：ab，即ab，同理：bc，ac，将上面三个同向不等式相加得：()2(abc)，(abc)利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)()2，其中a，b，c，dR.1
3、设a1，a2，a3为正数，求证：2()证明：因为aaa2a1aa(a1a2)(aa)，由柯西不等式得()2()2(aa)(a1a2)2，于是aaa2a1aa()2.故，同理，.将以上三个同向不等式相加，即得2()设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证： .精讲详析本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)(a2b2c2d2).利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、
4、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口2设a，bR，且ab2.求证：2.证明：根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2.原不等式成立.若3x4y2，求x2y2的最小值精讲详析本题考查柯西不等式的应用解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值由柯西不等式得(x2y2)(3242)(3x4y)2，25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时等号成立，由得因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)
5、有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一3如何把一条长为m的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？解：设这2段的长度分别为x，y，则xym，且2个正方形的面积和S(x2y2)因为(x2y2)(1212)(xy)2m2，等号当且仅当xy时成立，所以x2y2有最小值，从而S有最小值.把绳子两
6、等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点本考题以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点考题印证已知实数a、b、c、d满足a2b21，c2d22，求acbd的最大值命题立意本题考查柯西不等式在求最值中的应用解a2b21，c2d22，由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，得(acbd)2122.acbd.当且仅当adbc，即时取最大值.acbd的最大值为.一、选择题1若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D(， 解析：选Aa2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即2
7、0(ab)2，2ab2.2已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A. B.C. D.解析：选B2x23y2(2x23y2)(xy)2(xy)2.3已知a，bR且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQ BPQCPQ DPQ解析：选A设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n| ，(axby)2ax2by2.即PQ.4已知p，qR，且p3q32，则pq的最大值为()A2 B8 C. D4解析：选A设m(p，q)，n(p，q)，则p2q2ppqq|mn|m|n| .又(pq)22(p2q2)，p2q2.(pq)48(pq)pq2.二、填空题5设a，b，c，d，m，
8、n都是正实数，P，Q，则P与Q的大小_解析：由柯西不等式，得P Q.答案：PQ6函数f(x)的最大值为_解析：由柯西不等式得()2(1212)()2()212，2(当x9时，“”成立)答案：27设xy0，则的最小值为_解析：原式9.答案：98已知a，bR，且ab1，则()2的最大值是_解析：()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12.答案：12三、解答题9已知a2b21, x2y21，求证：|axby|1.证明：由柯西不等式得(axby)2(a2b2)(x2y2)1.故|axby|1成立10已知实数a、b、c满足a2bc1，a2b2c21.求证：c1.证明：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.所以c1.11若x24y25.求xy的最大值及最大值点解：由柯西不等式得x2(2y)2(xy)2即(xy)25，xy.当且仅当，即x4y时取等号由得或(舍去)xy的最大值为，最大值点为.
