1、思考1如图是由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(aa)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?名师指津：图中Sf(x)g(x)dx；图中Sf(x)g(x)dx.讲一讲1计算曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积(链接教材P56例1)尝试解答由解得x0或x3.如图因此所求图形的面积为S(x3)dx(x22x3)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差否则，有可能得面积是负的练一练1求曲线yex，yex及x1所围成的图形面积解：作图，并由解得交点(0,1)所求面积为(exex)
2、dx(exex)e2.思考下图是由三条曲线yf(x)、yg(x)和yh(x)围成的图形，且在a，c上，f(x)g(x)，在c，b上，f(x)h(x)还能用讲1的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？名师指津：不能Sf(x)g(x)dxf(x)h(x)dx.讲一讲2(链接教材P57例2)求曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积尝试解答画出草图，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)dxdx692.法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)(21)2.由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图
3、形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限练一练2求曲线xy1及直线yx，y3所围成图形的面积解：如图所示，由得A点坐标为(1,1)；由得B点坐标为；由得C点坐标为(3,3)法一：以x为积分变量，所求阴影部分的面积为2ln 324ln 3.法二：以y为积分变量，所求阴影部分的面积为Sdy4ln 3.思考若做变速直线运动的物体的速度函数为vv(t)(v(t)0)，则它在
4、ta到tb(ba)的时间段内所经过的路程s是多少？提示：sv(t)dt.讲一讲3(链接教材P58例3)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值尝试解答(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P移动的路程.当t6时，点P的位移为 即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是从原点出发，又返回原点所用的时间做变速直线运动的物体
5、，从时刻ta到时刻tb(ab)所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0， (2)若v(t)0， (3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间练一练3做变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置解：当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程s(1t2)dt(1t2)dt2，2秒末所在的位置x1x0v(t)dt1(1t2)dt112.所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1.思考如果物体在变力
6、F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功为多少？提示：WF(x)dx.讲一讲4(链接教材P59例4)由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所需的功尝试解答由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.03 k，得k(N/m)，于是F(x)x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为 J.求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x
7、)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳练一练4若2 N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4 m所需的功是多少？解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.05 k，得k40(N/m)，于是F(x)40x.故将弹簧拉长0.4 m所做的功为：因此将弹簧拉伸0.4 m所做的功为3.2 J.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面积，难点是分割型图形面积的求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)不分割型图形面积的求法，见讲1；(2)分割型图形面积的求法，见讲2；(3)求变速直线运动的路程，见讲3；(4
8、)求变力做功，见讲4.3在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点课下能力提升(十一)学业水平达标练题组1不分割型图形面积的求解1已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成图形的面积为()A. B.C. D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2.2如图，两曲线y3x2与yx22x1所围成的图形面积是()A6 B9C12 D3解析：选B由解得交点(1,2)，(2，1)，9.3如图所示，由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_解析：由得交点坐标为(1,
9、5)，(4,20)，所以所求面积S(x245x)dx(5xx24)dx.答案：4已知抛物线yx22x与直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解：作出yx22x的图象，如图所示当a0时，S(x22x)dxa2，所以(a1)(a2)20.因为a0时，若00，所以a2.若a2，不符合题意综上，a1或2.题组2分割型图形面积的求解5如图，阴影部分是由曲线y，y2x与直线x2，y0围成，则其面积为_解析：Sdxdxln 2.答案：ln 26求抛物线y22x和直线yx4所围成的图形的面积解：先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，4)法一：选x为积分变量，变化区间
10、为0,8，将图形分割成两部分(如图)，则面积为SS1S22dx(x4)dx法二：选y作积分变量，则y的变化区间为4,2，如图得所求的面积为18.题组3求变速直线运动的路程7一辆汽车以v3t2的速度行驶，这辆汽车从t0到t3这段时间内所行驶的路程为()A. B1 C3 D278A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(241.2t)m/s，经t s后，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离解：(1)设A到C的时间为t
11、1，则1.2t124，t120 (s)， (2)设D到B的时间为t2，则241.2t20，t220(s)，则|DB|(241.2t)dt(24t0.6t2)240(m)题组4求变力做功9做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是()A1e Be C. De1解析：选BW(1ex)dx(xex)e.10一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力位移曲线如图所示求该物体从x0处运动到x4(单位：m)处力F(x)做的功解：由力位移曲线可知F(x)因此该物体从x0处运动到x4处力F(x)
12、做的功为W10dx(3x4)dx10x46(J)能力提升综合练1曲线yx3与直线yx所围成图形的面积等于()解析：选C由求得直线yx与曲线yx3的交点分别为(1，1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S2(xx3)dx.2由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分3以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A. m B. m C. m D. m解析：选A令v4010t20，得物体到达最高时t2，此时高度h(4010t2)dt(m
13、)故选A.4一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向做直线运动，则由x1运动到x2时F(x)做的功为()A. J B. J C. J D2 J解析：选CWF(x)cos 30dx(5x2)dx(J)5由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S_.解析：图形如图所示：Sx2dxx2dxx2dxx3.答案：6抛物线yx24x3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为_解析：由y2x4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和2，则两切线方程分别为y2x2和 y2x6.由得C(2,2)SSABC(x24x3)dx222.答案：7求正弦曲线ysin
14、 x与余弦曲线ycos x与直线x，x围成的图形的面积解：如图，画出ysin x与ycos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为，.在上，cos xsin x.在上，sin xcos x.8已知函数f(x)ex1，直线l1：x1，l2：yet1(t为常数，且0t1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示求当t变化时，阴影部分的面积的最小值解：S1S2(et1ex1)dx(ex1et1)dx(etex)dx(exet)dx(xetex)(exxet)(2t3)ete1，取g(t)(2t3)ete1(0t1)，令g(t)0，解得t.当t时，g(t)0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为ge12e(1)2.故阴影部分面积的最小值为(1)2.
