1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|；a2bb2a；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的有()ABC D【解析】由于数量积不满足结合律，故不正确，由数量积的性质知正确，中，|a|2b|b|2a不一定成立，运算正确【答案】D2已知abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则a与b的夹角a，b()A30 B45C60 D以上都不对【解析】abc0，abc，(ab)2|a|2|b|22ab|c|2，ab，cosa，b.【答案】D3已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，
2、连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.与 B与C.与 D与【解析】用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PAABA，所以AD平面PAB，所以ADPB，故0，排除B，同理0，排除C.【答案】A4.如图3129，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()图3129A2B2C2D2【解析】2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错；22a2，故只有C正确【答案】C5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角
3、为60.其中正确命题的个数是()A1个 B2个C3个 D0个【解析】由题意知都正确，不正确，与的夹角为120.【答案】B二、填空题6已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|_.【导学号：15460066】【解析】|2a3b|2(2a3b)24a212ab9b24|a|29|b|212|a|b|cos 6061，|2a3b|.【答案】7已知|a|2，|b|1，a，b60，则使向量ab与a2b的夹角为钝角的实数的取值范围是_【解析】由题意知即得2220.11.【答案】(1，1)8.如图3130，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所
4、成的角的大小是_图3130【解析】不妨设棱长为2，则1，cos，0，故填90.【答案】90三、解答题9如图3131，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面BDG.图3131【证明】设a，b，c.则ab0，ac0，bc0.而()c(ab)，ba，()(ab)c.(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0.A1OBD.同理可证.A1OOG.又OGBDO且A1O平面BDG，A1O平面BDG.10已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)；(2
5、)；(3).【解】如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()()(ac)|c|2|a|222220.(3)()()(abc)|a|2|b|22.能力提升1已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0C1 D2【解析】()()，而，则(22)1，故选C.【答案】C2已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为()A30 B60C90 D45【解析】由于，则()21.cos，得，60.【答案】B3已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MNAE，则_. 【导学号：15460067】【解析】设m，由于，m，又0，得114m0，解得m.【答案】4.如图3132，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长图3132【解】，|.AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，90，60，|.
