1、山东省德州一中2015届高三上学期1月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合A=3，2a，B=a，b，则AB=4，则AB等于（）A2，3，4B1，3，4C0，1，2，3D1，2，3，42（5分）已知aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）正项等比数列an的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A8B16C32D644（5分）已知命题p：x0，x+4：命题q：x0R+，2x0=，则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq
2、是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题5（5分）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n6（5分）若变量x，y满足条件，则x+2y的取值范围为（）ABCD7（5分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）ABy=x2+2Cy=x33D8（5分）设函数f（x）=sinx+cosx（0）的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）Ag（x）在（0，）上单调递减Bg（x）在（，）上单调递减Cg（x）在（0，）上单调递增Dg（x）在（，）上单调递增9（5分）设函数
3、f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（）Af（x）=x21Bf（x）=2x4Cf（x）=ln（x+1）Df（x）=8x210（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=0，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，1）（0，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（1，+）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）已知向量=（，1），=（0，1），=（t，），若2与共线，则t=12（5分）设为锐角，若co
4、s（+）=，则sin（）=13（5分）若f（x）=x2+3dx，则=14（5分）已知直线xy+2=0及直线xy10=0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是15（5分）棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若b=a，ABC的面积A，求a、c的值17（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2
5、，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，且AB1A1C（I）求证：AB1A1D；（）求二面角AA1CD的平面的正弦值18（12分）若数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn+Sn+1+Sn+2=6n22（nN*）（）若数列an是等差数列，求an的通项公式（）若a1=a2=1，求S5019（12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资x（单位：万元）满足：f（x）=alnxbx+3（a，bR，a，b为常数），且曲线y=f（x）与直线y=kx在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图象经过点（4，4）（I）分别求甲、乙两种产品的利
6、润与投资资金间的函数关系式；（）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：ln=10=2.303，ln15=2.708，ln20=2.996，ln25=3.219，ln30=3.401）20（13分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（I）求椭圆的方程；（）求的最值21（14分）设函数f（x）=mlnx（I）当m=时，求f（x）的极值；（）设A、B是曲线y=f（x）上的两个
7、不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与x轴平行，直线AB的斜率为k，是否存在m，使得mk=1？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由山东省德州一中2015届高三上学期1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合A=3，2a，B=a，b，则AB=4，则AB等于（）A2，3，4B1，3，4C0，1，2，3D1，2，3，4考点：并集及其运算 专题：集合分析：先根据AB=4，求出a，b，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可解答：解
8、：A=3，2a，B=a，b，则AB=4，2a=b=4，a=2，b=4，AB=2，3，4故选：A点评：本题主要考查了集合的并集，是求集合的并集的基础题，也是2015届高考常会考的题型，理解集合A是解决本题的关键2（5分）已知aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质，进行判断即可解答：解：由a2a得0a1，则“a2a”是“a1”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3（
9、5分）正项等比数列an的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A8B16C32D64考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用正项等比数列an的公比为2，a2a10=16，求出a1=，再利用a9=a128，即可得出结论解答：解：正项等比数列an的公比为2，a2a10=16，a12210=16，a1=，a9=a128=25=32，故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础4（5分）已知命题p：x0，x+4：命题q：x0R+，2x0=，则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题考点：命题的真假判断与应
10、用 专题：简易逻辑分析：利用基本不等式求最值判断命题p的真假，由指数函数的值域判断命题q的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断解答：解：当x0，x+，当且仅当x=2时等号成立，命题p为真命题，P为假命题；当x0时，2x1，命题q：x0R+，2x0=为假命题，则q为真命题p（q）是真命题，（p）q是假命题故选：C点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题5（5分）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n考点：平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间
11、中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：在A选项中，可能有n，故A错误；在B选项中，可能有n，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确故选：D点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（5分）若变量x，y满足条件，则x+2y的取值范围为（）ABCD考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，1）；联立，解得C（）令z=x+2y，则y=由图可知，当直线
12、y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小为；当直线y=过C时，直线在y轴上的截距最大，z最大为x+2y的取值范围为故选：C点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（5分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）ABy=x2+2Cy=x33D考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：运用奇偶性的定义 判断已知函数为偶函数，在x0上递减，再由常见函数的奇偶性和单调性及定义，即可得到满足条件的函数解答：解：函数y=，当x=0时，f（0）=1；当x0时，x0，f（x）=（）x=ex=f（x），当x0时，x0，f（x）
13、=ex=f（x），则有在R上，f（x）=f（x）则f（x）为偶函数，且在x0上递减对于Af（x）=f（x），则为奇函数，则A不满足；对于B则函数为偶函数，在x0上递减，则B满足；对于Cf（x）=（x）33=x33f（x），则不为偶函数，则C不满足；对于Df（x）=f（x），则为偶函数，当x0时，y=递增，则D不满足故选B点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性及定义的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题8（5分）设函数f（x）=sinx+cosx（0）的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）Ag（x）在（0，）上单调递减
14、Bg（x）在（，）上单调递减Cg（x）在（0，）上单调递增Dg（x）在（，）上单调递增考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：化简解析式可得f（x）=sin（x+），由周期可求，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间解答：解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），T=，=2，f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）=cos2x，令2k2x2k+，kZ可解得：k，kZ，当k=0时，
15、x0，即g（x）在（0，）上单调递减故选：A点评：本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题9（5分）设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（）Af（x）=x21Bf（x）=2x4Cf（x）=ln（x+1）Df（x）=8x2考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：求出函数g（x）的零点的取值范围，分别求出哈思楠f（x）的零点，判断不等式|x1x2|0.25是否成立即可解答：解：g（1）=4+220，g（0）=120，g（）=2+120，g（）=220，则x2（，），A函数的零点为
16、x1=1，则不满足|x1x2|0.25，B函数的零点为x1=2，则不满足|x1x2|0.25，C函数的零点为x1=0，则不满足|x1x2|0.25，D函数的零点为x1=，则满足|x1x2|0.25，故选：D点评：本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似，分别求出函数的零点是解决本题的关键10（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=0，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，1）（0，+）B（0，+）C（，0）（1，+）D（1，+）考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：构造函数g（x）=ex
17、f（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex1，g（x）1，又g（0）=e0f（0）e0=1，g（x）g（0），x0，不等式的解集为（0，+）故选：B点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5
18、分）已知向量=（，1），=（0，1），=（t，），若2与共线，则t=1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值解答：解：=（，1），=（0，1），2=，又=（t，），且2与共线，则，解得：t=1故答案为：1点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题12（5分）设为锐角，若cos（+）=，则sin（）=考点：两
19、角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：先求出sin（+）=，再sin（）=sin（+），利用两角和与差的正弦函数展开即可由特殊角的三角函数值求解解答：解：为锐角，cos（+）=，则sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：点评：本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查13（5分）若f（x）=x2+3dx，则=考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：由题意得，令=c；故f（x）=x2+3c，从而可得c=（x2+3c）dx=x2dx+3cx|=+3c，从而解得解答：解：令=c；故f（x）=
20、x2+3c；c=（x2+3c）dx=x2dx+3cx|=+3c；故c=；故答案为：点评：本题考查了定积分的求法，关键是由题意建立关于c的等式，通过方程的思想求值，属于中档题14（5分）已知直线xy+2=0及直线xy10=0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是25考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：判断两条直线为平行直线，求出两平行直线的距离，得到圆心到直线的距离，根据半径，半弦以及圆心距之间的关系求圆的半径即可解答：解：直线xy+2=0与直线xy10=0平行，且截圆C所得的弦长均为8，圆心到两直线的距离相等，两平行直线的距离d=，即圆心到直线xy+2=0的距离为d=3，则圆的半径R
21、=，故圆C的面积是25，故答案为：25点评：本题主要考查圆的半径的求解，利用直线和圆的位置关系，求出圆的半径是解决本题的关键15（5分）棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是32考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么从而求出它的体积解答：解：由三视图知余下的几何体如图示；B、D都是侧棱的中点，上、下两部分的几何体相同，即上、下两部分的体积相等，该几何体的体积为V=43=32故答案为：32点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，是基础题目三、解答题：（本大题共6个小题，满分
22、75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若b=a，ABC的面积A，求a、c的值考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（I）已知等式利用正弦定理化简，把sin（A+C）=sinB代入，整理求出cosC的值，即可确定出角C的大小；（）利用三角形面积公式列出关系式，把b=a，sinC以及已知面积相等求出的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可解答：解：（I）由2ccosA=2ba，利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2si
23、nBsinA，即2sinCcosA=2sin（A+C）sinA，整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinCsinA，即2sinAcosCsinA=0，分解得：sinA（2cosC）=0，sinA0，cosC=，则C=；（）b=a，C=，SABC=absinC=a2，SABC=sin2A，sin2A=a2，即=sinA，整理得：=2，由正弦定理=2，即c=2sinC=1，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即1=a2+3a23a2，解得：a=1点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（12分）如图所示，在直三棱柱A
24、BCA1B1C1中，AA1=2，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，且AB1A1C（I）求证：AB1A1D；（）求二面角AA1CD的平面的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）首先利用线面垂直的性质，转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理得到线面垂直进一步转化成线线垂直（）AB1交A1D于E，过A作AFA1C于点F，连结EF，说明AFE为所求二面角的平面角，通过解三角形求解sinAFE即可解答：证明：（I）如图，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1平面ABC，又CD平面ABC，AA1CD，由于AA1AB=A，CD平
25、面AB1，又AB1平面AB1，CDAB1，AB1A1C，CDA1C=C所以：AB1平面A1CD，又A1D平面A1CD，AB1A1D（）由（I）可知AB1平面A1CD，交A1D于E，过A作AFA1C于点F，连结EF，A1C平面AEF，A1CEF，则AFE为所求二面角的平面角，在RtA1AD中，AA1=2，AD=2，A1D=2，AE=，同理求得AF=，sinAFE=二面角AA1CD的平面的正弦值为：点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力18（12分）若数列an的前n项和为Sn，且满足：Sn+Sn+1+Sn+2=6n22（nN*）（
26、）若数列an是等差数列，求an的通项公式（）若a1=a2=1，求S50考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）若数列an是等差数列，根据条件求出首项和公差，即可求an的通项公式（）根据数列的递推关系，得到an1+an+an+1=12n6，即可求出S50解答：解：（）若数列an是等差数列，设公差为d，当n=1时，S1+S2+S3=6a1+4d=4，即3a1+2d=2，当n=2时，S2+S3+S4=22，即9a1+10d=22，解得a1=2，d=4，即an的通项公式an=4n6（）Sn+Sn+1+Sn+2=6n22（nN*）当n2时，Sn1+Sn+Sn+1=6（n1）22（nN
27、*）得an1+an+an+1=12n6，（n2），则S50=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+（a48+a49+a50）=2+（1236）+（1266）+（12486）=2+36（1+2+16）616=2+3613696=4802点评：本题主要考查递推数列的应用以及等差数列的应用，考查学生运算能力19（12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资x（单位：万元）满足：f（x）=alnxbx+3（a，bR，a，b为常数），且曲线y=f（x）与直线y=kx在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图象经过点（4，
28、4）（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：ln=10=2.303，ln15=2.708，ln20=2.996，ln25=3.219，ln30=3.401）考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：（I）根据条件分别求出a，b，即可求出甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40x）万元，建立函数关系，求函数的导数，利用导数研究函数的最
29、值即可解答：解：（I）函数的定义域为（0，+），函数的导数为f（x）=，（1，3）在直线y=kx上，k=3，曲线y=f（x）与直线y=kx在（1，3）点相切，解得，即甲产品的利润y与投资x的关系式：f（x）=3lnx+3，乙产品的利润与投资资金间的函数关系式g（x）=m；将（4，4）代入函数g（x）得，解得m=2故g（x）=，（x0）（）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40x）万元，且x10，30，则该公司所得利润为：y=3lnx+3+2，则函数的导数f（x）=，由f（x）0得10x15，由f（x）0得15x30，即当x=15时，函数取得极大值，同时也是最大值，即最大值为y=3ln15+3+
30、=32.708+13=21.124万元故当甲产品投资15万元，则乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元点评：本题主要考查函数的应用问题，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键考查导数的优化问题20（13分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（I）求椭圆的方程；（）求的最值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）根据椭圆离心率以及条件，求出a，bc的关系即可求椭圆的方程；（）联立直线和椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合
31、向量数量积的坐标公式进行化简整理即可解答：解：（I）椭圆的离心率为，=，2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，即c=2，则b2=4则椭圆的方程为；（）设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0；=8（8k2m2+4）0，x1+x2=，x1x2=，kOAkOB=，y1y2=x1x2=，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km（）+m2=，=，即（m24）=m28k2，4k2+2=m2，则=x1x2+y1y2=，2=242，当k=0时，（此时m2=2判别式），即直线A
32、B平行x轴时，最小值为2当斜率不存在时，x1=x2，y1=y2，kOAkOB=，x12=2y12，将A坐标代入椭圆方程得y12=2，的最大值为2综上的最大值为2，的最小值为2点评：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大21（14分）设函数f（x）=mlnx（I）当m=时，求f（x）的极值；（）设A、B是曲线y=f（x）上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与x轴平行，直线AB的斜率为k，是否存在m，使得mk=1？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上
33、某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（I）当m=时，求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）的极值；（）求函数的导数，根据导数的几何意义，求出直线AB的斜率，建立方程关系即可得到结论解答：解：（I）函数的定义域为（0，+），则f（x）=，当m=时，f（x）=，令f（x）=0，则x=2或x=，当x变化时，f（x），f（x）变化时，x（0，）（，2）2（2，+）f（x）0+0f（x）递减递增递减当x=时，f（x）的极小值为f（）=，当x=2时，f（x）的极大值为f（2）=；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），（0x1x2），由题意得f（x1）=f（
34、x2）=0，又f（x）=，x1，x2是方程x22mx+1=0的两个正根，故x1x2=1，判别式=4m240，即m21，f（x1）f（x2）=mlnx11+mlnx2+=m（lnx1lnx2）（x1x2）+=m（lnx1lnx2）（x1x2），若存在实数m，使得mk=1，则k=，即，即lnx1lnx2=x1x2，x1x2=1，0x1x2，x1，令h（t）=t2lnt，0t1，h（t）=1+=（）20，h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）h（1）=112ln1=0，即x12lnx10，与矛盾，故不存在这样的m，使mk=1点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大
