1、抛物线及其标准方程1.（2021江苏连云港高二期中）焦点为(0，2) 的抛物线的标准方程是( )A.x2=8y B.x2=4y C.y2=4x D.y2=8x答案：A2.（2021北京延庆高二期中）设抛物线y2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上的一点，过P 作PQx 轴于Q ，若|PF|=3 ，则线段PQ 的长为( )A.2 B.2C.22 D.32答案：C3.（2021江西南昌十中高二期中）若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于( )A.2B.4C.6D.8答案：D4.（多选题）已知抛物线y2=10x ，则下列说法中正确
2、的是( )A.焦点在y 轴上B.焦点在x 轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)答案：B; D 5.（2021北京人大附中高二期中）已知抛物线y2=-12x 的焦点与双曲线x2a-y24=1 的一个焦点重合，则a= ( )A.5 B.13 C.5D.25答案：C6.（2021山东泰安高二期中）已知抛物线E ：y2=2px(p0) 的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p= ( )A.1B.2 C.2D.22答案：B7.（2021北京丰台高二期末
3、）已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，准线为l ，点M 在抛物线C 上，点N 在准线l 上，且MNl .若|MF|=8 ，MFN=60 ，则p 的值为( )A.8B.4C.2D.1答案：B8.（2021安徽淮南一中高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(-3,2)，M 在抛物线C 上，若点N(2,4) ，则|MF|+|MN| 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案：D9.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144 的左顶点；（2）抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y=-3 与抛物线交于点
4、A ，|AF|=5 .答案：（1）将双曲线的方程化为标准形式，可得其左顶点为(-3,0)，故可知抛物线的焦点为(-3,0)，由此设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0) ，则-p2=-3 ，得p=6 ，故抛物线的标准方程为y2=-12x .（2）由题意设抛物线的标准方程为y2=2nx(n0) ，因为A(m,-3) 在抛物线上，所以(-3)2=2nm ，由|AF|=5 ，得m+n2=5 ，解得n=1 或9，所以抛物线的标准方程为y2=2x 或y2=18x .素养提升练10.（2021湖南长沙长郡中学高二期中）苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的
5、立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m ，如图2，则此抛物线的顶端O 到连桥AB 的距离为( )A.180m B.200m C.220m D.240m答案：B解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0) ，由题意设D(15,h) ，B(30,h-150) ，则152=-2ph, 302=-2p(h-150),解得h=-50 ，p=2.25 ，所以此拋物线的顶端O 到连桥AB 的距离为50+150=200m .11.（多选题）已知抛物线E
6、:x2=4y 的焦点为F ，圆C:x2+(y-1)2=16 与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是( )A.点P 的纵坐标的取值范围是(23,5)B.|PN|+|NF| 等于点P 到抛物线准线的距离C.圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2D.PFN 周长的取值范围是(8,10)答案：B; C; D解析：圆C:x2+(y-1)2=16 的圆心为(0，1) ，半径r=4 ，与y 轴正半轴的交点为(0,5).抛物线E:x2=4y 的焦点为F(0,1) ，准线方程为y=-1 ，联立圆的
7、方程和抛物线的方程可得A ，B 两点的纵坐标均为3，所以点P 的纵坐标yP(3,5) ，故A中命题错误；由抛物线的定义可得|PN|+|NF| 等于点P 到抛物线准线的距离，故B中命题正确；圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2，故C中命题正确；PFN 的周长为|PF|+|PN|+|NF|=r+yP+1=yP+5(8,10) ，故D中命题正确.12.（2021江西南昌江西师大附中高二期中）设F 为抛物线x2=24y 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F 是三角形ABC 的重心，则|FA|+|FB|+|FC|= .答案：36解析：抛物线x2=24y 的焦点为F(0,6) ，准线方程为y=-6
8、 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，C(x3,y3) ，由F 是三角形ABC 的重心得y1+y2+y33=6 ，所以y1+y2+y3=18 ，由抛物线的定义可知，|FA|+|FB|+|FC|=(y1+6)+(y2+6)+(y3+6)=36 .创新拓展练13.某抛物线型拱桥水面的宽度20m ，拱顶离水面4m ，现有一船宽9m ，船在水面上高3m .（1）建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程；（2）试问：这条船能否从桥下通过？请说明理由.命题分析 本题考查了抛物线方程的求法，抛物线中在实际问题的应用.答题要领 （1）设抛物线为x2=-2py ，将(10,-4)代入即可求得p=252 ；（2）将x=92 代入，求得对应的纵坐标，再结合船高与限高即可判断.详细解析（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴（向上）建立如图所示的平面直角坐标系.设拱桥所在抛物线的方程为x2=-2py(p0) ，因为点(10,-4)在抛物线上，所以102=-2p(-4) ，解得p=252 ，所以拱桥所在抛物线的标准方程为x2=-25y .（2）当x=92 时，y=-81100 ，所以此时限高为4-81100=3191003 ，所以能通过.解题感悟 本题解题关键在于合理建立模型，根据待定系数法求解.
