1、江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1不等式0的解集是2已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n+1，则a3=3在等比数列an中，a2=2，a5=16，则a6=4在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为5在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45，B=60，则b=6在等差数列an中，a4=7，a8=15，则数列an的前n项和Sn=7在ABC中，A=60，AC=3，AB=2，那么BC的长度为8若关于x的不等式x2ax+20的解集是（1，
2、2），则a=9在ABC中，a=2bcosC，则ABC的形状为10已知数列an是等差数列，且a2+a5+a8=，则sina5=11已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=12等差数列an中，a1=3，11a5=5a8，则其前n项和Sn的最小值为13已知向量，满足+=，且与的夹角等于120，与的夹角等于135，|=3，则|=14数列an满足a1=1，an+1=1，记Sn=a12+a22+an2，若S2n+1Sn对任意nN*恒成立，则正整数m的最小值是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设数列an的前n项和为S
3、n，且Sn=n2+2n（）求数列an的通项公式；（）证明an是等差数列16在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，ABC=120，AD+CD=10求：（）AC的长及圆的半径R；（）四边形ABCD的面积17已知等差数列an的各项均为正数，a1=3，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60求：（）数列an与bn的通项公式；（）+18（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行（）若=2=60，问该船有无触礁危险？（）当与满足什么条件时，该船没
4、有触礁的危险？19（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（aN*），若不等式f（x）2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根（）求f（x）的解析式；（）若不等式f（x）mx在x（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）解不等式f（x）mx（mR）20（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3），记第n个图形的边长an、周长为bn（）求数列an、bn的通项公式；（）若第n个图形的面积为Sn，试探求Sn，Sn1，（n2）满足的关系式，并证明Sn江苏省宿迁市沭阳县2014-2
5、015学年高一下学期期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1不等式0的解集是（，2）（1，+）考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：不等式等价为（x1）（x+2）0，解得即可解答：解：0，不等式等价为（x1）（x+2）0，解得x2，或x1，故不等式0的解集是（，2）（1，+），故答案为：（，2）（1，+）点评：本题主要考查不等式的解法，利用分式不等式的解法是解决本题的关键，属于基础题2已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n+1，则a3=4考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：Sn=2n+1，当n2时，an=
6、SnSn1，化简整理即可得出解答：解：Sn=2n+1，当n2时，an=SnSn1=（2n+1）（2n1+1）=2n1则a3=231=4故答案为：4点评：本题考查了递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3在等比数列an中，a2=2，a5=16，则a6=32考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据题意和等比数列的通项公式求出公比q，再由等比数列的通项公式求出a6解答：解：在等比数列an中，a2=2，a5=16，公比q3=8，则q=2，a6=a5q=162=32，故答案为：32点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题4在ABC中，sinA：sinB：sin
7、C=2：3：4，则cosC的值为考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题分析：由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值解答：解：在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k212k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键5在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，A=45，B=60，则b=考点：正弦定理 分析：由题意和正弦定理直接求出变b的值即可解答：解：由题意
8、知，a=，A=45，B=60，根据正弦定理得：，则b=，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，属于基础题6在等差数列an中，a4=7，a8=15，则数列an的前n项和Sn=n2考点：等差数列的前n项和 专题：计算题分析：由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入求和公式可得解答：解：设等差数列an的公差为d，则可得，解之可得，故Sn=n2故答案为：n2点评：本题考查等差数列的前n项和，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题7在ABC中，A=60，AC=3，AB=2，那么BC的长度为考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由已知及余弦定理即可求值解答：解：在ABC中，A=60，AC=3，
9、AB=2，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=9+4232cos60=7BC=故答案为：点评：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查8若关于x的不等式x2ax+20的解集是（1，2），则a=3考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由一元二次方程与不等式关系可知，不等式解集边界值就是对应的一元二次方程两根，进而有根与系数关系可以求得a解答：解：不等式x2ax+20的解集是（1，2），x2ax+2=0有两个根1，2，1+2=aa=3，故答案为：3点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题9在ABC中，a=2bc
10、osC，则ABC的形状为等腰三角形考点：正弦定理 专题：解三角形分析：先根据题设条件求得cosC的表达式，进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式，二者相等化简整理求得b=c，进而判断出三角形为等腰三角形解答：解：a=2bcosC，cosC=cosC=，化简整理得b=cABC为等腰三角形故答案为：等腰三角形点评：本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断解题的关键是利用了cosC这一桥梁完成了问题的转化，属于中档题10已知数列an是等差数列，且a2+a5+a8=，则sina5=考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质化简a2+a5+a8=，求出a5的值，代入
11、sina5求值即可解答：解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=，a5=，sina5=，故答案为：点评：本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题11已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，成等差数列，则=3+2考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：计算题分析：先根据等差中项的性质可知得2（ ）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案解答：解：依题意可得2（ ）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数，q0，q=1+，=q2=3+2故答案
12、为：3+2点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解学生在求出q值后应根据等比数列的各项都为正数，舍去不合题意的公比q的值12等差数列an中，a1=3，11a5=5a8，则其前n项和Sn的最小值为4考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：计算题分析：先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值解答：解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=3，故d=2故 an =3+（n1）2=2n5，故此数列为递增数列故等差数列an的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为3+（1）=4，故
13、答案为4点评：在等差数列中，当首项为正，公差为负时，其前n项和Sn有最大值，是所有的正项相加最大； 当首项为负，公差为正时，其前n项和Sn有最小值，是所有的负项相加最小13已知向量，满足+=，且与的夹角等于120，与的夹角等于135，|=3，则|=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：通过向量，构成三角形，利用BAC=60，ABC=45，计算进而即得结论解答：解：向量，满足+=，向量，能构成三角形，与的夹角等于120，与的夹角等于135，BAC=180120=60，ABC=180135=45，过点C到AB边垂线CD交AB于D，BC=|=3，CD=BCsinABC=3sin45=
14、，又CD=ACsinBAC=ACsin60=AC，AC=，AC=，即|=，故答案为：点评：本题考查求向量的模，利用+=构建三角形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题14数列an满足a1=1，an+1=1，记Sn=a12+a22+an2，若S2n+1Sn对任意nN*恒成立，则正整数m的最小值是10考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：数列an满足a1=1，an+1=1，可得=4，利用等差数列的通项公式可得=作差（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（Sn+1Sn）（S2n+3S2n+1）=，即可得出数列S2n+1Sn单调性，进而得出解答：解：数列an满足a1=1，an+
15、1=1，=4，数列是等差数列，首项为1，公差为4=Sn=a12+a22+an2，（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（Sn+1Sn）（S2n+3S2n+1）=+0，数列S2n+1Sn是单调递减数列，数列S2n+1Sn的最大项是S3S1=，又m为正整数，m的最小值为10故答案为：10点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，恒成立问题的等价转化方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15设数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n（）求数列an的通项公式；（）证明a
16、n是等差数列考点：等差关系的确定；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列an的通项公式；（）根据等差数列的定义进行证明即可解答：解：（）Sn=n2+2n，a1=S1=3，当n2时，an=SnSn1=n2+2n（n1）2+2（n1）=2n+1，则当n=1时，满足an=2n+1，综上都有an=2n+1（）anan=2（n+1）+12n1=2，为常数，an是首项为3，公差为2的等差数列点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解和证明，比较基础16在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，ABC=120，AD+CD=10求：（）AC的长及
17、圆的半径R；（）四边形ABCD的面积考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）在ABC中，由余弦定理可求AC的值，由正弦定理即可得解（）设AD=m，CD=n，m+n=10，在ACD中，由余弦定理得mn=24，则由三角形面积公式可求SACD，SABC，从而得解解答：解：（）在ABC中，由余弦定理得：AC=，4分由正弦定理得：2R=，R= 7分（）设AD=m，CD=n，m+n=10，在ACD中，由余弦定理得，AC2=m2+n2mn=（m+n）23mn 9分即28=1003mn，mn=2411分则SACD=mnsin60=6，SABC=，13分所以四边形ABCD的面积为8 14分点评：本题主
18、要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查17已知等差数列an的各项均为正数，a1=3，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且b1=1，b2S2=16，b3S3=60求：（）数列an与bn的通项公式；（）+考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由Sn=n（n+2），可得=利用“裂项求和”即可得出解答：解：（）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则d0，an=3+（n1）d，bn=qn1b2S2=16，b3S3=60，解得或（舍去）故an=3+2（n1）=2n+1，（）Sn=n（n+2
19、），=+=+=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（16分）如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行（）若=2=60，问该船有无触礁危险？（）当与满足什么条件时，该船没有触礁的危险？考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：（）在ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；（）在ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC3时没有触礁危险解答：解：（）在ABM中可知，AB=BM=5，4分从而
20、MC=5sin60=3，没有触礁危险8分（）设CM=x，在ABM中由正弦定理得，解得x=，14分所以当3时没有触礁危险16分点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题19（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（aN*），若不等式f（x）2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根（）求f（x）的解析式；（）若不等式f（x）mx在x（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）解不等式f（x）mx（mR）考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次不等式的解法 专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（）由题意，1，
21、4是方程ax2+（b2）x+c=0的两根，且a0，运用韦达定理可得b，c，再由判别式为0，可得b，c，进而得到f（x）的解析式；（）由题意，不等式x2（m+3）x+40在x（1，+）上恒成立，讨论对称轴和区间的关系，即可m的范围；（）方程x2（m+3）x+4=0的判别式=（m+3）216，讨论判别式为0，大于0和小于0，即可得到不等式的解集解答：解：（）由题意，1，4是方程ax2+（b2）x+c=0的两根，且a0，由韦达定理得，1+4=，14=，即有b=25a，c=4a，因为方程f（x）=x有两个相等的实数根，所以（b1）24ac=0，消去b，c得a=1或（舍去），b=3，c=4，所以f（x）
22、=x23x+4； （）由题意，不等式x2（m+3）x+40在x（1，+）上恒成立，设g（x）=x2（m+3）x+4其图象的对称轴方程为x=，当1即m1时，有g（）=0，得1m1，当1即m1时，有g（1）=2m0，得m1，综上，m1； （）方程x2（m+3）x+4=0的判别式=（m+3）216，当0即7m1时，不等式的解集为R； 当=0时：m=7时，不等式的解集为x|x2；m=1时，不等式的解集为x|x2；当0即m7或m1时，不等式的解集为x|x或x点评：本题考查二次函数、二次方程和二次不等式的关系，主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键20（16分
23、）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3），记第n个图形的边长an、周长为bn（）求数列an、bn的通项公式；（）若第n个图形的面积为Sn，试探求Sn，Sn1，（n2）满足的关系式，并证明Sn考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据图形关系，建立图形边长和周长之间的关系即可求出数列的通项公式（2）根据归纳推理，求出两个图形的面积之间的关系，结合等比数列的通项公式进行求和即可得到结论解答：解：（）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，则an=（）n1，设第n个图形的边数为cn，因为第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，则cn=34n1，因此，第n个图形的周长bn=ancn=（）n134n1=3（）n1，（）S1=，当n2时，Sn=Sn1+cn（an2）=Sn1+34n2（）n12=Sn1+（）n1，则Sn=S1+（S2S1）+（S3S2）+（SnSn1），=+（）2+（）3+（）n1，=+，=（）n1，Sn点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用，根据归纳推理建立数列的递推关系是解决本题的关键综合性较强，属于中档题
