1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修5 第一章 解三角形成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解三角形 第一章 第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1.2 应用举例第一章 第1课时 距离问题第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课 时 作 业 4课前自主预习 1第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课前自主预习第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 碧波万顷
2、的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20nmile的B处现在“白云号”以10n mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以8n mile/h的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近？本节将用正、余弦定理解决此类问题第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题这实际上是已知三角形两 个 角 和 一 条 边 解 三 角 形 的 问 题，用_可解决问题2测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的
3、两点 A、B 之间的距离转化为应用_求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题正弦定理 余弦定理 第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 3方位角从指北方向_时针转到目标方向的水平角如图(1)所示顺 第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 4方向角相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向，如图(2)所示北偏西，即是由指北方向逆时针旋转到达目标方向其他方向角类似5在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线一般
4、来说，基线越_，测量的精确度越高长第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 1如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa和c Bc和bCc和 Db和答案 D解析 在ABC中，能够测量到的边和角分别为b和.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 2如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A，a，b B，aCa，b，D，b答案 C第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速航
5、行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知ABBC，且ABBC50 n mile，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点_ n mile.答案 50 63第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 设两船相遇所经过的时间为 t，相遇之处 M 距 C点 x n mile.由已知，CD25 2 n mile，DCM45，DMvt n mile，2vt5050 x100 x，vt(50 x2)n mile.由余弦定理，得DM2CD2CM22CDCMcosDCM，(vt)2(25 2)2x2225 2xcos45，即3x24 12
6、50，3x241250，x50 63 n mile.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 4在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_ km.答案 6解析 如图所示，由题意知C45，由正弦定理，得 ACsin60 ABsin45，AC222 32 6.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 5如图，为了计算菏泽新区龙湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，测得ADCD，AD5 km，AB7 km，BDA60，BCD135.求两景
7、点B与C的距离(假设A、B、C、D在同一平面内)第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 在ABD 中，设 BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即 72x25210 xcos60，x25x240，解得 x8 或3(舍去)，由正弦定理，得BCsinCDBBDsinBCD，BC8sin30sin1354 2(km)答：两景点 B 与 C 的距离为 4 2 km.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课堂典例讲练第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 如图，A
8、CD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.分析 由三角形的性质可求出CBE的度数，从而可解出cosCBE的值；求AE，可在ABE中利用正弦定理求得可到达的两点的距离问题第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析(1)BCD9060150，CBACCD，CBE15，cosCBEcos(4530)cos45cos30sin45sin30 6 24.(2)在ABE 中，AB2，故由正弦定理，得AEsin45152sin9015，AE2sin30cos15 2126 24 6 2.第一
9、章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 在ABC 中，已知 A45，cosB45.(1)求 cosC 的值；(2)若 BC10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长解析(1)A45，cosA 22，sinA 22.又cosB45，sinB35.cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB45 22 22 35 210.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (2)由(1)知 cosC 210，sinC7 210，由正弦定理，得 ABsinC BCsinA，AB107 2102214.BD7.在BCD 中，由余
10、弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcosB1004921074537，CD 37.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、B 两地的距离分析 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距中的应用第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5
11、解析 如图所示，在ACD 中，CAD180(12030)30，ACCD100 3.在BCD 中，CBD180(4575)60.由正弦定理，得 BC100 3sin75sin60200sin75.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 在ABC 中，由余弦定理，得AB2(1003)2(200sin75)221003200sin75cos751002(341cos15022 3sin150)10025，AB100 5.答：A、B 两地间的距离为 100 5 m.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 点评(1)求解三角
12、形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是BCD和ABC(2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线(3)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120m，求河的宽度第一章 1.2 第1课时成才
13、之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 如图，在ABC 中，CAB45，CBA75，ACB60.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 由正弦定理，得 ACABsinCBAsinACB 120sin75sin6020(3 2 6)设 C 到 AB 的距离为 CD，则 CDACsinCAB 22 AC20(3 3)答：河的宽度为 20(33)m.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 如图所示，海中小岛A周围38 n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30 n
14、mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？正、余弦定理在航海测量上的应用第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38 n mile比较大小即可第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 解析 在ABC 中，BC30，B30，ACB135，BAC15，由正弦定理，得 BCsinA ACsinB即：30sin15 AC
15、sin30，AC60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)15(6 2)，A 到 BC 的距离为 dACsin4515(31)40.98 n mile38 n mile，所以继续向南航行，没有触礁危险第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1
16、.5 km/s.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)分析(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来(2)作PDa，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cosAPD，即cosPAB的值由题意，PAPB，PCPB都是定值，因此，只需要分别在PAB和PAC中，求出cosPAB，cosPAC的表达式，建立方程即可第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5
17、解析(1)依题意，PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PB(x12)km，PC(18x)km.在PAB 中，AB20 km，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202x1222x203x325x.同理，cosPAC72x3x.由于 cosPABcosPAC，即3x325x72x3x，解得 x1327(km)第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 (2)如图，作 PDa，垂足为 D在 RtPDA 中，PDPAcosAPDPAcosPABx3x325x31327 32517.71(km)答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距
18、离约为 17.71 km.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 易错疑难辨析第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少km才能到达A城？错解 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在ACD中，已知CD21 km，CAD60，只需再求出一个量即可第一章 1.2 第1课时成
19、才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 如图，设ACD，CDB，在CBD 中，由余弦定理，得cosBD2CD2CB22BDCD2022123122202117，sin4 37.在ACD 中，ACsin180 21sin602132，第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 AC2123 4 37 24，CD2AC2AD22ACADcos60，即 212242AD222412AD，整理，得 AD224AD1350，解得 AD15 或 AD9，答：这个人再走 15 km 或 9 km 就可到达 A 城辨析 本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产
20、生了增解，应用正弦定理来求解第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 正解 如图，令ACD，CDB，在CBD 中，由余弦定理得cosBD2CD2CB22BDCD20221231222021 17，sin4 37.第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 又 sinsin(60)sincos60sin60cos4 37 12 32 175 314，在ACD 中，21sin60 ADsin，AD21sinsin60 15(km)答：这个人再走 15 km 就可以到达 A 城第一章 1.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 课 时 作 业（点此链接）
