1、第2讲平面向量的数量积及应用考纲展示命题探究1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.规定：0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积2平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|
2、b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)4平面向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2.(2)|a|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)cos.(4)abab0x1x2y1y20.注意点数量积的含义和向量垂直与共线的区别(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定(2)x1y2x2y10与x1x
3、2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件. 1思维辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负()(2)若ab0，则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()答案(1)(2)(3)(4)2(1)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()AB.C D.(2)如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则()A2 B.C. D.答案(1)A(2)D解析(1)由条件得ab(31,2)，a2b(1
4、,2)，因为ab与a2b垂直，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.(2)() () 2，选D.考法综述高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：利用坐标计算平面向量的数量积；根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；根据数量积求参数值分值在5分左右，难度中等命题法求向量的数量积、夹角、模及平行垂直的条件典例(1)AD，BE分别是ABC的中线，若|1，且与的夹角为120，则()A. B.C. D.(2)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()A BC. D.(3)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_解析(
5、1)|1，且与的夹角为120，|cos120.由得()，选D.(2)a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.(3)由题意可知(2)0，结合|21，解得，所以|2|2424242410，|2|.答案(1)D(2)D(3)【解题法】向量的夹角与模的求法(1)两向量的夹角的范围是0，当a与b的夹角是锐角时ab0且a与b不共线；当a与b的夹角是钝角时ab0且a与b不共线；当a与b的夹角是直角时ab0.(2)向量的模的求法|a|2a2aa.|ab|2(ab)2a22abb2.若a(x，y)，则|a|.1已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则(
6、)Aa2Ba2C.a2 D.a2答案D解析在菱形ABCD中，所以()a2aacos60a2a2a2.2ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析2a，2ab，a，b，ABC是边长为2的等边三角形，|b|2，ab1，故a，b不垂直，4ab2，故(4ab)()220，(4ab)，故选D.3.设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()扫一扫听名师解题A20 B15C9 D6答案C解析选择，为基向量3，又2，于是(43)(43)(16|29|2)9，故选C.4.若非零向量a，b满足|
7、a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()扫一扫听名师解题A. B.C. D答案A解析由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab322b2b2，所以cosa，b，所以a，b，故选A.5若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B.C1 D.答案B解析(ab)a，|a|1，(ab)a0，|a|2ab0，ab1.又(2ab)b，(2ab)b0.2ab|b|20.|b|22.|b|，选B.6平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1C1 D2答案D
8、解析a(1,2)，b(4,2)，cm(1,2)(4,2)(m4,2m2)又c与a的夹角等于c与b的夹角，cosc，acosc，b.即，解得m2.7已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析由()可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即BAC90，故与的夹角为90.8已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案解析|b|，由ab0，得ba，故|b|a|a|，所以|.9已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos_.答案解析ab(3e12e2)(3e1e2)929118.|a|2(3e12e2)294
9、12119，|a|3.|b|2(3e1e2)2916118，|b|2，cos.10. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由题意知，所以22，即22564，解得22.1向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，常用公式：cos.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.2向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问
10、题解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识3向量中的不等式|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.注意点坐标系的应用向量在平面几何中的应用，往往与求模、夹角、面积等有关，如果建立适当的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算使问题简化. 1思维辨析(1)ABC内有一点O，满足0，且，则ABC一定是等腰三角形()(2)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算()(3)在ABC中，若0，|ab|2cosx.f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122.x，cosx1，当cosx时
11、，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大值1.答案(1)2,5(2)见解析【解题法】向量在几何和三角函数中的解题及策略解决向量与三角函数知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，再进一步转化为实数运算(即坐标运算)，进而构建出三角函数，然后再考虑三角函数的相关性质，如单调性、最值、周期等，有时还会带有参数，解题时要注意分类讨论1.已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15C19 D21答案A解析依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B，C(0，t)，
12、所以(1，t4)(1)4(t4)174t17213(当且仅当4t，即t时取等号)，所以的最大值为13，故选A.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2C3 D5答案A解析由|ab|得a2b22ab10，由|ab|得a2b22ab6，得4ab4，ab1，故选A.3已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B.C. D.答案C解析以，为基向量，则()()22(1)4()2(1)1.(1)(1)2(1)(1)，由可得.4已知点O为ABC的外心，且|4，|2，则_.答案6解析因为点O为ABC的外心，且|4，|2，所以
13、()A|cos，|cos，|6.5在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_答案解析由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosB(2)222222cos304，AC2，ACBC2，CAB30，DAC60.AD1，AE1,2，|2()2|2|21(2)221122，2，|1,2，2，由梯形ABCD知0，.6设G是ABC的重心，且sinA3sinB3sinC0，则角B的大小为_答案解析sinA3sinB3sinC0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a3b3c0，由点G为ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3，3，3，代入
14、上式得：a()3b()3c()0，又，上式可化为：a(2)3b()3c(2)0，即(2a3b3c)(a3b6c)0，则有得3a9c，即ac31，设a3k，ck，代入得bk，cosB，B.7.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)mn，mn0.故sinxcosx0，tanx1.(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin.又x，x，x，即x，故x的值为.创新考向1以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题通常以数量积运算为核心，通过数形结合，转化化归等途径，解决与几何有关的问题，或
15、以向量自身为背景，解决有关模、夹角等问题2命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等创新例题在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acosbsin，02，区域P|0r|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3RCr1R3 D1r3R答案A解析根据题意不妨设a(1,0)，b(0,1)，(ab)(，)，acosbsin(cos，sin)，|(cos，sin)|(02)1|3，易知曲线C为单位圆，又区域P|0r|R，rR，且C为两段分离的曲线，结合图形可知，r，R1,3且端点不重合，1rR0，a与b的夹角，且ab和ba都
16、在集合中，则ab()A. B1C. D.答案C解析根据题中给定的两个向量的新运算可知ab，ba，又由可得cos0可得01，于是0，将代入后得2cos2，又由于ab，所以ab2cos2(nZ)，于是12，故n3，cos，|a|b|，ab，故选C.3对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n|m|n|sin，其中为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()A若a*ba*c，则bcB(a*b)ca(b*c)Ca*b(a)*bD(ab)*ca*cb*c答案C解析a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为，b，c夹角为，则(a*b)c|a|b
17、|sinc，a(b*c)|b|c|sina，故B不正确；同理，D不正确；a*b|a|b|sin|a|b|sin()(a)*b.故选C.创新指导1准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆2方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解已知两向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2所成的角为60，若向量2te17e2与向量e1te2所成的角为钝角，求实数t的取值范围错解错因分析将两向量的数量积小于零与两向量的夹角为钝角看成是充要条件，而导致
18、求解错误正解设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为，由为钝角，知cos0，故(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t70，解得7t.若向量2te17e2与向量e1te2反向，则2te17e2k(e1te2)(k0)，从而且k0，解得即当t时，两向量所成的角为.所以t的取值范围是.心得体会时间：45分钟基础组1.2016武邑中学仿真已知平行四边形ABCD中，AB1，AD2，DAB60，则等于()A1 B.C2 D2答案C解析，()|A|21|cos602.22016衡水中学模拟已知点P(3,3)，Q(3，3)，O为坐标原点，动点M(x，y)满足则点M所构
19、成的平面区域的面积是()A12 B16C32 D64答案C解析(3,3)，(x，y)，(3，3)，3x3y，3x3y，即画出平面区域可得，面积为32.32016冀州中学期中若|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B.C. D.答案B解析由|ab|ab|两边平方，得ab0，由|ab|2|a|两边平方，得3a22abb20，故b23a2，则(ab)aa2aba2，|ab|2|a|，设向量ab与a的夹角为，则有cos，故.42016衡水中学仿真向量与向量a(3,4)的夹角为，|10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A(7,8) B(9，4)C(5,10) D(7，6)答
20、案D解析设点B的坐标为(m，n)，由题意，cos，a1，化简，得(3m4n5)225(m1)2(n2)2，又|10，即 10，联立，得m7，n6.52016枣强中学预测设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B.C2 D10答案B解析由ac，得ac2x40，解得x2.由bc，得，解得y2，所以a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)，|ab|，故选B.62016冀州中学一轮检测已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0C3 D.答案C解析由已知(2a3b)c，可得(2a3b)c0，即(2k3，6
21、)(2,1)0，展开化简得4k120，所以k3，故选C.72016武邑中学一轮检测已知向量a，b满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的取值范围为()A1,2 B2,4C. D.答案D解析由题意知b0，设向量a，b的夹角为，(ab)(a2b)a2ab2b2，又|a|1，1|b|cos2|b|20，|b|cos12|b|2，1cos1，|b|12|b|2|b|，|b|1.82016武邑中学月考已知平面向量a，b的夹角为120，且ab1，则|ab|的最小值为()A. B.C. D1答案A解析由题意可知1ab|a|b|cos120，所以2|a|b|，即|a|2|b|24，|ab|2a22abb
22、2a2b22426，所以|ab|，选A.9. 2016冀州中学期末设M是ABC内一点，且2，BAC30，定义f(M)(m，n，p)，其中m、n、p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若f(M)，则的最小值是()A8 B9C16 D18答案D解析2，BAC30，|cosBAC2，解得|4，SABC|sinBAC41.f(M)，xySABC1，xy，12(xy)2218(当且仅当x，y时取等号)，故选D.102016衡水中学热身关于平面向量a，b，c有下列三个命题：若abac，则bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题
23、的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析命题明显错误由两向量平行的充要条件得162k0，k3，故命题正确由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30，命题错误11. 2016衡水中学预测非零向量a，b满足|a|2，|b|1，且|a2b|(2，2，则a，b的夹角的取值范围是_答案解析|a2b|(2，2，(a2b)2(4,12，即a24b24ab448cos(4,12，cos，故.122016枣强中学热身已知向量a(4,5cos)，b(3，4tan)，ab，求：(1)|ab|；(2)cos的值解(1)因为ab，所以ab435cos(4tan)0，解得sin.又因为，所以cos
24、，tan，所以ab(7,1)，因此|ab|5.(2)coscoscossinsin.能力组13. 2016衡水中学猜题在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2 B4C5 D10答案D解析解法一：以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴建立直角坐标系设A(a,0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2|PB|2(a2b2)10|PC|2，故选D.解法二：因为，且2，两式平方相加得22222424242202，故选D.142016冀州中学模拟已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案11解析解法一：|cos，由图可知，|c
25、os|，因此|21.|cos|cos.而|cos就是向量在上的射影，要想使最大，即射影最大即可，此时E点与B点重合，射影为|，故长度为1.解法二：将问题中的向量向已知模与夹角的向量上转化，可求出相关结论()()|2.因为，所以0.所以1201.()|2(01)，所以的最大值为1.152016枣强中学仿真如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是_答案5,5解析如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则(1,0)，(x，y)，所以(x，y
26、)(1,0)x.因为点P在圆x2(y5)225上，所以5x5，即55.所以应填5,5162016武邑中学热身直线x1与抛物线C：y24x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记ab(a，bR)，其中O为抛物线C的顶点(1)当与平行时，b_；(2)给出下列命题：a，bR，PMN不是等边三角形；a0且b0，使得与垂直；无论点P在准线上如何运动，ab1总成立其中，所有正确命题的序号是_答案1解析(1)当与平行时，根据图形的对称知原点O为线段PN的中点，则，所以b1.(2)若PMN为等边三角形，则P点为准线x1与x轴的交点，由题意P(1,0)，可取M(1,2)，N(1，2)，|MN|4，则|PM|PN|2|MN|，故正确；设P(1，y)，令，则(1，y)(1，2)0，即y，则，解得a，b，故正确；根据图形的对称性知点P关于原点的对称点Q必在直线MN上，则ab，由于点M，N，Q三点共线，则(a)(b)1，即ab1，故正确综上可知正确
