1、每日一题规范练第一周规范练题目1已知函数f(x)2cos2x2sin xcos xa，且当x时，f(x)的最小值为2.(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数yf(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求方程g(x)4在区间上所有实根的和2016年_月_日(周一)题目2已知数列an满足a11，a23，an13an2an1(nN*，n2)，(1)证明：数列an1an是等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn2log4(an1)2，证明：对一切正整数n，有0)，M为抛物线C上一动点，A(a，0)(
2、a0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为.(1)求抛物线C的标准方程；(2)记t，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由2016年_月_日(周五)题目6已知函数f(x)a(x1)24ln x，a0.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对一切x2，e，f(x)1恒成立，求实数a的取值范围2016年_月_日(周六)第二周规范练题目7已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2n12p(nN*)(1)求p的值及数列an的通项公式；(2)若数列bn满足(
3、3p)anbn，求数列bn的前n项和Tn.2016年_月_日(周一)题目8已知函数f(x)2sin xcos2cos xsin sin x(0b0)经过点(2，)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，m)，求m的取值范围2016年_月_日(周五)题目12设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时，求函数f(x)的单调区间；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0bc)的短轴长为2，离心率为.过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程(2)求的取值范围(3)若B点关于
4、x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点2016年_月_日(周五)题目24已知函数f(x)(其中kR，e2.718 28是自然对数的底数)，f(x)为f(x)的导函数(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若x(0，1时，f(x)0都有解，求k的取值范围；(3)若f(1)0，试证明：对任意x0，f(x)恒成立2016年_月_日(周六)第五周规范练题目25在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C(2ac)cos B.(1)求角B的大小；(2)若a，b，c成等差数列，且b3，试求ABC的面积2016年_月_日(周一)题目26数列an的前n项和为
5、Sn，且Snn(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式；(3)令cn(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.2016年_月_日(周二)题目27某211工程高校金融学院向北大、清华、人大推荐免试硕士研究生，根据“三校”推免条件，金融学院有四名学生符合推免条件，若每人只能申请一所大学的推免名额，这四名学生申请其中任何一所大学都是等可能的，且他们申请时互不影响(1)求恰有两位学生都申请人民大学的概率；(2)记这四位学生所申请的大学的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；(3)对于(2)中的，设“函数f(x)sin，xR是偶函数”为事件D，求事件D发
6、生的概率2016年_月_日(周三)题目28如图，在三棱锥PABC中，底面ABC为边长为2的正三角形，平面PBC平面ABC，PBPC2，D为AP上一点，AD2DP，O为底面三角形中心(1)求证：DO面PBC；(2)求证：BDAC；(3)设M为PC中点，求二面角MBDO的余弦值2016年_月_日(周四)题目29已知函数f(x)xaln x.(1)若函数yf(x)的图象在x1处的切线与直线2xy10平行，求a的值；(2)在(1)的条件下方程f(x)b在区间1，e上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(3)若在区间1，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围2016年_月_日(周五
7、)题目30已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：x21的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形(1)求椭圆E的方程；(2)过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q.设M(m，0)，当为定值时，求m的值；设点N是椭圆E上的一点，满足ONPQ，记NAP的面积为S1，OAQ的面积为S2，求S1S2的取值范围2016年_月_日(周六)参考答案 题目1解(1)函数f(x)cos 2x1sin 2xa2sina1，x，2x，f(x)min1a12，得a2，则f(x)2sin3.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由(1)
8、知f(x)2sin3，根据图象变换，得g(x)2sin3.又g(x)4.得sin.又x，得4x.4x或4x.则x或x，故方程g(x)4在区间上所有实根之和为.题目2证明(1)由an13an2an1，得an1an2(anan1)，n2.又a2a1312，则anan10.数列an1an是首项为2，公比为2的等比数列因此anan122n22n1(n2)，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 2n12n221 2n1，又a11适合上式所以an2n1(nN*)(2)由(1)，得bn2log4(an1)2log2(2n)22n.故对一切nN*，有0，b0)，因为点D在线段AB上，且，即.3
9、(a6，b，0)(6，8，0)因此a4，b.所以(6，0，8)，.平面BCD的法向量为n1(0，0，1)设平面B1CD的法向量为n2(x，y，1)，由n20，n20，得所以x，y2，n2.设二面角BCDB1的大小为，cos .所以二面角BCDB1的余弦值为.题目5解(1)由题意，|OA|a，|MN|22p，SMON|OA|MN|2p.p29，则p3，则抛物线C的标准方程为y26x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xmya，联立得y26my6a0.则36m224a0，y1y26m，y1y26a，由对称性，不妨设m0，()a0，y1，y2同号，又tt2不论a取何值，t均
10、与m有关，即a0时，y1y26a0，得x2，由f(x)0，得1x0时，抛物线g(x)ax2ax2开口向上，对称轴为x.g(x)在区间上单调递增，且g(1)g(0)2.令g(x)ax2ax20，解得x1，或x2(舍去)则在(1，x1)上g(x)0.f(x)单调递增若x1e，则f(x)在2，e上单调递减，f(x)maxf(2)故f(x)在2，e上的最大值只能是f(e)，或f(2)所以即所以0a.综上所述，0a.题目7解(1)由于Sn2n12p(nN*)，当n2时，anSnSn12n12p(2n2p)2n.又a1S142p，由于数列an为等比数列，aa1a3，即(42p)2324，解之得p1，因此a
11、na1qn12n.(2)由(1)知，an2n，an12n1，又(3p)anbn2anbn，则2nbnn，所以bn.Tn，Tn，由得Tn 1，Tn2.题目8解(1)f(x)sin x(1cos )cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因为f(x)在x处取得最小值sin()1，则sin 1，又0a，因此B或B，当B时，C(AB).当B时，C(AB).综上可知，角C或C.题目9解(1)由频率分布表，a0.10，b70.(2)根据分布表，知灯泡样品中一等品有50个，合格品有100个，次品有50个所以一等品、合格品和次品的比例为5010050121.所以按分层抽样法
12、，灯泡数nk2kk4k(kN*)，所以n的最小值为4.(3)的所有取值为0，1，2，3.依题意，任取一个灯泡，该灯泡为次品的概率p0.25.从本批次灯泡中任取3个，次品数B(3，0.25)所以P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C.所以随机变量的分布列为：0123P所以的数学期望E()0123.题目10(1)证明连接AO，ABC为正三角形，O为BC中点AOBC，A1OBC，A1OAOO，BC平面A1OA，又OE平面A1OA，从而BCEO.又OEAA1，AA1B1B，OEB1B，又B1BBCB，故OE平面BB1C1C.(2)解由(1)可知，A1OBC，A1OOA，OABC，故分别以OA，
13、OB，OA1为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设AB2，则AA12，OA，OA13，A(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，3)，B(0，1，0)则(，1，0)，(，0，3)，(，1，0)，设平面AA1B1B的法向量为n(x，y，z)则即取x，则n(，3，1)设AC与平面AA1B1B所成的角为.则sin |cosn，|.AC与平面AA1B1B所成角的正弦值为.题目11解(1)设椭圆的半焦距是c，由于e，ac，则b2a2c2c2.所以椭圆C的方程为1.又椭圆C过点(2，)所以1，解得c24.故椭圆C的方程为1.(2)()当MNx轴时，显然m0.()当MN与x轴不垂直时，设直线MN的斜率
14、为k，显然k0，则直线MN的方程为yk(x2)，由得(12k2)x28k2x8k280.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN中点Q(x0，y0)，则x1x2，所以x0，y0k.线段MN的垂直平分线方程为y.在上述方程中令x0，得y.即m.当k0时，2k2，则0m；当k0时，2k2，则0m.所以m0或0m.综上所述，实数m的取值范围是.题目12解(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时，f(x)ln xx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1或x2(舍去)当0x0；当x1时，f(x)0，所以m1，要使方程f(x)mx在区间1，e2上有唯一实数解，只需m1有唯一实数解，令g
15、(x)1(x0)，g(x)，由g(x)0得0xe；g(x)e.g(x)在1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，又g(1)1，g(e2)1，g(e)1，故m的取值范围是.题目13解(1)在ABC中，b4，A，S2，Sbcsin A4c2，则c2，由余弦定理，a2b2c22bccos A164242cos12，a2.(2)由正弦定理，得.sin C.又由ca，得0C0.f(1)1，且f(1)0.所以f(x)在点P(1，0)处的切线方程为yx1.(2)f(x)，x0.令g(x)2ax22ax1(x0)当a0时，f(x)0无实根，f(x)无极小值，当a0时，g(0)1，则g(x)0有唯一正实根，
16、设为x0.当0x0，f(x)0；xx0时，g(x)0，f(x)0时，g(0)10.且函数g(x)图象关于x对称要使函数f(x)有极小值，则4a28a0，a2.此时g(x)0有两解x1，x2(不妨设x1x2)当x1xx2时，g(x)0，f(x)x2时，g(x)0，f(x)0.f(x)有极小值f(x2)综合知，实数a的取值范围为(2，)(3)依题意，当x1时，f(x)x1，即ln xa(x1)2x1.下面证明：ln xx1(x1)设h(x)ln x(x1)ln xx1(x1)则h(x)1而h(x)0，h(x)在1，)上递减故h(x)h(1)0，即ln xx1.当a0时，a(x1)20，则f(x)l
17、n xx1.当a0时，取x1，则f(x)ln xa(x1)2lna(x1)ln 1x1x1，与题设矛盾因此a0，故a的最大值为0.题目19解(1)m，n.f(x)mn2cos2x2sincos1cos 2xsin1cos 2xsin 2xcos 2x1cos 2xsin 2x1sin.则f(x)的最小正周期T.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)由f1，得1sin1，即sin0.又0Ab，知B为锐角cos B.故sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.题目20解(1)设“从12名队员中随机选取两名，两人来自同一个队”为事件A.由
18、古典概型，P(A).(2)依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).随机变量的分布列为：0123P因此E()01231.D()(01)2(11)2(21)2(31)2(140124).题目21解(1)由已知可得所以q23q20，解得q2或q1(舍)，从而a24，所以an2n，bn2n1.(2)由(1)知，cn2bn32n3n.由题意，cn1cn对任意的nN*恒成立，即2n13n12n恒成立，即恒成立由于函数y在R上是减函数，所以当n1时，有最大值，且最大值为.因此时，恒成立所以实数的取值范围是.题目22(1)证明在正六边形ABCDEF中，连接AC、BE
19、，交点为G，易知ACBE，且AGCG，在多面体中，由AC，知AG2CG2AC2，故AGGC，又AGBE，GCBEG，GC，BE在平面BCDE内，故AG平面BCDE.由于AG平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE.(2)解以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系由AGCG，BG1，GE3.则A(0，0，)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(，2，0)，E(0，3，0)，F(0，2，)(0，1，)，(，0，)，(0，1，)，(，0，)设平面ABC的法向量为n1(x，y，z)，则即取z1，得n1(1，1)同理可求平面DEF的一个法向量n2(1，1
20、)所以cosn1，n2.故两平面所成二面角(锐角)的余弦值为.题目23(1)解依题意，得b1，e.a22c22(a2b2)，则a22b22.故椭圆C的方程为y21.(2)解依题意，过点M(2，0)的直线l的斜率存在，设为k.则直线l的方程为yk(x2)联立消去y，得(12k2)x28k2x8k220.由64k44(8k22)(12k2)0，得k2，则0k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以x1x2y1y2.x1x2k2(x12)(x22)(1k2)x1x22k2(x1x2)4k25.因为0k2，所以0)，f(1)，且f(1).故曲线yf(x)在点(1，f(1)处
21、的切线为y(x1)，即xey30.(2)解由f(x)0得k，令F(x)，0x1，F(x)0.需证f(x)恒成立，只需证明1xln xx0)，得h(x)ln x2.当x(0，e2)时，h(x)0，h(x)是增函数；当x(e2，)时，h(x)0，则(x)ex1.当x0时，(x)0，(x)在(0，)上是增函数因此(x)(0)0.故x(0，)时，(x)ex(x1)0，即1，所以1xxln xe210，f(x)恒成立题目25解(1)bcos C(2ac)cos B，由正弦定理，得sin Bcos C(2sin Asin C)cos B.sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos B，即s
22、in(BC)2sin Acos B.在ABC中，0A，sin(BC)sin A0.cos B，因为0B，所以B，(2)a，b，c成等差数列，且b3，ac2b6，又由余弦定理，b2a2c22accos B，32a2c2ac(ac)23ac.因此3ac623227，则ac9.所以SABCacsin B9.题目26解(1)Snn(n1)(nN*)当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，a12满足该式，数列an的通项公式为an2n.(2)an(n1)，则an1得，an1an2，得bn12(3n11)，又当n1时，b18，所以bn2(3n1)(nN*)(3)由(1)，(2
23、)知cnn(3n1)n3nn.Tnc1c2c3cn(13232333n3n)(12n)令Hn13232333n3n则3Hn132233(n1)3nn3n1得，2Hn332333nn3n1n3n1，Hn，又12n，数列cn的前n项和Tn.题目27解(1)记“一位学生申请人大推免生”为事件A，则P(A).由独立重复试验，恰有两位学生都申请人民大学的概率PC.(2)依题意，的所有可能值为1，2，3.则P(1)，P(2)，P(3)，随机变量的分布列为123P从而E()123.(3)当1时，f(x)sincos为偶函数当2时，f(x)sinsin为奇函数，当3时，f(x)sincos为偶函数，事件D发生
24、，即事件“1”或“3”发生根据互斥事件的概率加法，事件D发生的概率为P(D)P(1)P(3).题目28(1)证明连接AO并延长交BC于E，连接PE，O为ABC中心且ABC是正三角形，AO2OE，又在APE中，AD2PD，DOPE，PE平面PBC，DO平面PBC，DO平面PBC.(2)证明连接BO并延长交AC于F，连接DF，O是等边ABC的中心，BFAC，AEBC，且F、E分别为AC、BC的中点又PBPC，得PEBC.由于平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，所以PE平面ABC.由(1)得DOPE，所以DO平面ABC，则DOAC.DOBFO，所以AC平面BDF，又BD平面BDF，故BD
25、AC，(3)解由(1)，(2)知，AE，PE，BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则B(0，0)，D，M，A(3，0，0)，C(0，0)(1，)，(3，0)根据(2)知，(3，0)是平面BOD的一个法向量，设平面BDM的法向量为n(x，y，z)则解得取y1，得n(，1，3)cos，n，又根据图形知二面角MDBO为锐角，所以二面角MBDO的余弦值为.题目29解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.由题意f(1)12，解得a1.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1.在(1，2)上，f(x)0，f(x)单调递增，f(1)3，f(e
26、)e1，f(1)f(e)，f(2)3ln 2.由题意f(2)bf(e)，即3ln 2be1.(3)在1，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立等价于f(x)min0，f(x)是增函数，f(x)minf(1)2a0，得a2.当1a1e时，即0ae1，在区间(1，1a)上，f(x)0，f(x)是增函数f(x)minf(a1)2aaln(a1)，因为0ln(a1)1，则0aln(a1)2，从而f(a1)0不成立，舍去当a1e时，即ae1，在(1，e)上，有f(x)0，f(x)是减函数f(x)minf(e)ea，又e1.因此a.综合，知实数a的取值范围为(，2).题目30解(1)由题意，椭圆的焦点在x
27、轴上，设其方程为1(ab0)依题设，椭圆E的左右焦点为F1(，0)，F2(，0)，c.又椭圆E的短轴两端点与F2构成正三角形a2b，又因a2b2c2b23，联立，得a24，b21.所以椭圆E的方程为y21.(2)双曲线C的右顶点A为(1，0)()当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.代入y21，解得x1，y.不妨设P，Q，由M可得，.() 当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x1)，由得(4k21)x28k2x4k240，设直线l与椭圆E交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则(mx1，y1)，(mx2，y2)，(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2，m2mk2(4m28m1).当2m0，即m时为定值.综上所述当m时，为定值.ONPQ，SNAPSOAP，S1S2SOPQ，|PQ|4，原点O到直线PQ的距离为d(k0)，SOPQ|PQ|d.令4k21t，则k2(t1)SOPQ，t1，01，则043.0SOPQ.又当直线l的斜率不存在时，SOPQ1，
