1、离散型随机变量的方差 (15分钟30分)1已知的分布列为1234P则D()的值为()A B C D【解析】选C.E()1234，D().2随机变量X的分布列如表：X123P0.5xy若E(X)，则D(X)等于()A B C D【解析】选D.由得所以D(X).3设随机变量X的分布列为X101P若Y2X2，则D(Y)等于()A B C D【解析】选D.由题意知，E(X)101，故D(X)，D(Y)D(2X2)4D(X)4.【补偿训练】 若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为()A8 B15 C16 D32【解析】选C.样本数据x1，x2，x3，x1
2、0，其标准差8，则D(X)64.而样本数据2x11，2x21，2x101的方差D(2x1)22D(X)2264，所以其标准差为16.4抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值与方差分别为()AE(X)0，D(X)1 BE(X)，D(X)CE(X)0，D(X) DE(X)，D(X)1【解析】选A.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的分布列为X11P0.50.5所以E(X)10.5(1)0.50，D(X)(10)20.5(10)20.51.5从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X
3、)3，则D(X)_【解析】由题意知，XB，所以E(X)53，解得m2，所以XB，所以D(X)5.答案：6根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X
4、900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.(30分
5、钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y3X5，则Y的标准差为()A B3 C D2【解析】选A.因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即XB，则X的方差D(X)3，所以Y的方差D(Y)32D(X)96，所以Y的标准差为.2若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为()A B C3 D【解析】选C.x1，x2满足解得或因为x1x2，所以x11，x22，所以x1x23.3
6、某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的方差是()A90 B180 C270 D360【解析】选D.由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即B(1 000，0.1).而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X2，故方差为D(X)D(2)22D()41 0000.10.9360.4若随机变量的分布列为P(m)，P(n)a，若E()2，则D()的最小值等于()A0 B2 C4 D无法计算【解析】选A.由于分布列中，概率和为1，则a1，a.因为E()2，所以2.所以m62n.所以D()(m2)2
7、(n2)2(n2)2(62n2)22n28n82(n2)2.所以n2时，D()取最小值0.【误区警示】将D()视为n的二次函数求解二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知随机变量X的分布列为X101Pa则下列结论正确的是()AP(X0) BaCE(X) DD(X)【解析】选ABC.由分布列可知，P(X0)，a1，E(X)(1)01；D(X).6编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，则()A的所有取值是1，2，3 BP(1) CE()1 DD()1【解析】选BCD.的所
8、有可能取值为0，1，3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(0)；1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(1)；3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(3).所以的分布列为013PE()0131.D()(01)2(11)2(31)21.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知离散型随机变量X的可能取值为x11，x20，x31，且E(X)0.1，D(X)0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为_，_，_【解析】由题意知，p1p30.1，121p10.01p20.81p30.89.又p1p2p31，解
9、得p10.4，p20.1，p30.5.答案：0.40.10.5【补偿训练】 若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为_【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)p(1p)，所以p(1p)0.25，解得p0.5.答案：0.58一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为_，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为_【解析】“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为p.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C.“不放回抽取”时，设摸出
10、白球的个数为X，依题意得P(X0)，P(X1)，P(X2).所以E(X)012，D(X).答案：【补偿训练】 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)_【解析】由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12.P(X6)，P(X9)，P(X12)，则E(X)69127.8，D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.答案：3.362从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选设所选3人中女生人数为，则随机变量的方差D()_【解析】的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得：P(0)，P
11、(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以E()012.D().答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差【解析】(1)X的可能值为0，1，2.若X0，表示没有取出次品，其概率为P(X0)，同理，有P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P所以E(X)012.D(X).(2)Y的可能值为1，2，3，显然XY3.P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0).所以Y的分布列为Y123
12、P所以YX3，所以E(Y)E(3X)3E(X)3，D(Y)(1)2D(X).10一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于5
13、0个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288；P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.1设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2).2A，B两个投资项目的
14、利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，(100x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(
15、Y1)(56)20.8(106)20.24；E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)DDD(Y1)D(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002).所以当x75时，f(x)取最小值3.【补偿训练】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流
16、量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，p1P(40X120)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发
17、电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如表：Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如表：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台
