1、2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳国际学校应届班高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1已知集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，则AB=2函数y=log2（2xx2）的增区间为3设复数z=，则=4执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为6若命题“xR，使得x2+（1a）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是7若为锐角，且，则sin=8若直线y=kx是y=lnx的切线
2、，则k=9函数y=Asin（x+）+k（A0，0，|）的图象如上，则y的表达式是10已知向量=（3，2），=（1，0），且向量与垂直，则实数的值为11已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为12已知公差不为0的正项等差数列an中，Sn为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于13过双曲线的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C若，则双曲线的离心率是14已知：M=a|函数y=2sinax在上是增函数，N=b|方程3|x1|b+1=0有实数解，设D=MN，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围
3、是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，求b的值16如图，已知ABCD，直线BC平面ABE，F为CE的中点（1）求证：直线AE平面BDF；（2）若AEB=90，求证：平面BDF平面BCE17经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115|t15|（）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t3
4、0，tN）的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形（I）求椭圆的方程；（）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值19已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn20已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且在处取得极值（）求实数b，c的值；（）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值三、附加题（一）【
5、选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分【A选修4-1：几何证明选讲】21如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，ADCP，垂足为D求证：DAP=BAP【B选修4-2：矩阵与变换】22设a0，b0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E： =1（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A1【C选修4-4：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：=4cos被直线l：sin（）=a截得的弦长为2，求实数a的值【D选修4-5：不等式选讲】24（2013宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+4（二）【必做题】第
6、25题、第26题，每题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，PA平面ABCD，ADBC，ABC=90，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角BPCD的余弦值26已知（x+1）n=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+an；（2）试比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳国际学校应届班高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡
7、相应的位置上.1已知集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，则AB=1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据已知中集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，根据集合交集运算法则我们易给出AB【解答】解：集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，AB=1，2故答案为：1，2【点评】本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案2函数y=log2（2xx2）的增区间为（0，1）【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】由x2+2x0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（x2+2x）的单调增区间，只要求t
8、=x2+2x在0t2的单调增区间【解答】解：由x2+2x0，得0x2，即定义域为x（0，2）设t=x2+4x（0x2），则当x（0，1）时，t为增函数； 又y=log2t（0t2）也为增函数，故函数的单调递增区间为（0，1） 故答案为：（0，1）【点评】本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性3设复数z=，则=2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】首先把复数z化简，然后运用=|z|2计算即可【解答】解：z=所以故答案为2【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是采用分子分母
9、同时乘以分母的共轭复数，是基础题4执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5【考点】程序框图【专题】计算题【分析】由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时Sp，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键5一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称
10、其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为【考点】几何概型【专题】计算题【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比【解答】解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1而棱长为3的正方体的体积为27故所求概率为故答案为：【点评】本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率6若命题“xR，使得x2+（1a）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是（3，+）（，1）【考点】特称命题【专题】计算题【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“xR，使得x
11、2+（1a）x+10”，则相应二次方程有不等的实根【解答】解：“xR，使得x2+（1a）x+10x2+（1a）x+1=0有两个不等实根=（1a）240a1，或a3故答案为：（3，+）（，1）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面7若为锐角，且，则sin=【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sin=sin（）+的值【解答】解：为锐角，且，cos（）=，sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）s
12、in=+=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题8若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=lnx，y=，当x=1时，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm=（xm）它过原点，lnm=1，m=e，故答案为：【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识
13、，考查运算求解能力属于基础题9函数y=Asin（x+）+k（A0，0，|）的图象如上，则y的表达式是【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】先利用函数的周期确定的值，进一步利用最值确定A和K的值，最后确定的值，进一步确定结果【解答】解：根据函数的图象，则：T=进一步求出=2解得：A=，K=1当x=时，函数达到最大值，由于，|=所以：【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求A、和的值10已知向量=（3，2），=（1，0），且向量与垂直，则实数的值为【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】由向量的基本运算可得与的坐标
14、，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可【解答】解：由题意=（31，2），=（1，2）与垂直， =（31）（1）+22=7+1=0，解得，故答案为：【点评】本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题11已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为（2，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质【专题】计算题【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可【解答】解：函数f（x），当x0 时，f（x）=x2+4x，由二
15、次函数的性质知，它在0，+）上是增函数，当x0时，f（x）=4xx2，由二次函数的性质知，它在（，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数f（2a2）f（a），2a2a解得2a1实数a 的取值范围是（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2a2）f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题12已知公差不为0的正项等差数列an中，Sn为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于30【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】设正项等差数
16、列an的公差为d0，由于lga1，lga2，lga4也成等差数列，可得2lga2=lga1+lga4，化为a1=d，又a5=10，可得a1+4d=10，联立解出，再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设正项等差数列an的公差为d0，lga1，lga2，lga4也成等差数列，2lga2=lga1+lga4，=a1a4，化为a1=d，又a5=10，a1+4d=10，联立解得a1=d=2，则S5=30故答案为：30【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13过双曲线的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点
17、分别为B、C若，则双曲线的离心率是【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bxay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），=（，），=（，），=，b=2a，c2a2=4a2，e2=5，e=，故答案为：【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用14已知：M=a|函数y=2sinax在上是增函
18、数，N=b|方程3|x1|b+1=0有实数解，设D=MN，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m【考点】利用导数研究函数的单调性；奇函数【专题】压轴题【分析】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）=，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围【解答】解：M=a|函数y=2sinax在上是增函数，可得且a
19、0，即，解得a，故M=a|aN=b|方程3|x1|b+1=0有实数解，所以可得N=b|1b2D=MN=（1，是定义在R上的奇函数f（0）=0可得n=0f（x）=，又在D内没有最小值f（x）=，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h（x）=1，令h（x）0，可解得x，令h（x）0，可解得x，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+）上是增函数，当时，即m时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当1时，即m1时，函数h（x）在D上是
20、增函数，存在最大值h（），不符合题意当1时，即1m时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m+，解得m，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m，故答案为m【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15在锐角ABC中，角A，
21、B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，求b的值【考点】半角的三角函数；余弦定理的应用【专题】计算题；综合题【分析】（1）先根据角A的范围和正弦值求出余弦值，然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行化简，最后代入角A的余弦值即可（2）先根据三角形的面积公式求出b与c的乘积，然后将数据代入余弦定理a2=b2+c22bccosA即可求出b的值【解答】解：（1）因为锐角ABC中，A+B+C=，所以cosA=，则=（2），则bc=3将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c22bccosA中得b46b2+9=0解得b=【点评】本题主要考查同角三角函数的基
22、本关系和、倍角公式、三角形的面积公式以及余弦定理的应用三角函数部分公式比较多，不容易记忆，一定要强化记忆，这样才能做到做题时的游刃有余16如图，已知ABCD，直线BC平面ABE，F为CE的中点（1）求证：直线AE平面BDF；（2）若AEB=90，求证：平面BDF平面BCE【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】证明题【分析】（1）欲证AE平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BFD内一直线平行，设ACBD=G，连接FG，根据中位线定理可知FGAE，而AE平面BFD，FG平面BFD，满足定理所需条件；（2）欲证平面DBF平面BCE，根据面面垂直的判定定理可
23、知在平面DBF内一直线与平面BCE垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线AE平面BCE，而FGAE，则直线FG平面BCE，而直线FG平面DBF，满足定理条件【解答】证明：（1）设ACBD=G，连接FG由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点又F是EC中点，在ACE中，FGAEAE平面BFD，FG平面BFD，AE平面BFD；（2）AEB=90，AEBE又直线BC平面ABE，AEBC又BCBE=B，直线AE平面BCE由（1）知，FGAE，直线FG平面BCE又直线FG平面DBF，平面DBF平面BCE【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力，推理论
24、证的能力，属于基础题17经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115|t15|（）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t30，tN）的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题；分类讨论【分析】（）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1t15和15t30两种情况化简得w（t）为分段
25、函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可【解答】解：（）由题意得，；（）因为；当1t15时， 当且仅当，即t=5时取等号当15t30时，可证w（t）在t15，30上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元【点评】考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力18已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形（I）求椭圆的方程；（）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值【考点】椭圆的简单性质；
26、直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】（I） 由题意得到 c=，tan30=，可得b、a值，即得椭圆的方程（）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入的解析式化简得 恒为定值，故有，从而解出m值【解答】解：（I）由题意可得 c=，tan30=，b=1，a=2，故椭圆的方程为（） 设直线l的方程为 y0=k（x1），即 y=kxk代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x28k2x+4k24=0，x1+x2=，x1x2=（mx1，y1 ）（mx2，y2）=（mx1）（mx2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1x2（m+k2）（x1+x2） =（
27、m2+k2）+（1+k2）（m+k2）（） = 恒为定值，m=【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由恒为定值，得到，是解题的关键和难点19已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题【分析】（I）将已知等式用等差数列an的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列an的通项公式（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数
28、列bn通项的特点，选择错位相减法求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）依题意得解得，an=a1+（n1）d=3+2（n1）=2n+1，即an=2n+1（），bn=an3n1=（2n+1）3n1Tn=3+53+732+（2n+1）3n13Tn=33+532+733+（2n1）3n1+（2n+1）3n2Tn=3+23+232+23n1（2n+1）3nTn=n3n【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法20已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且在处取得极值（）求实数b，c的值
29、；（）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题【分析】（）因为函数f（x）=的图象过点（1，2），可把（1，2）点坐标代入，得到一个关于b，c的等式，再因为函数在处取得极值，所以函数在处的导数为0，由此又得到一个关于b，c的等式，两个等式联立，就可解出b，c（）利用导数求最大值，因为f（x）为分段函数，所以可按x的范围，分段求导数，找到极大值，再比较区间1，e上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值【解答】解：（）当x1时，f（x）=3x2+2x+b，由题意得：，即，解得：b=c=0（）由（）知：f（x）=当1
30、x1时，f（x）=x（3x2），解f（x）0得0x；解f（x）0得1x0或x1f（x）在（1，0）和上单减，在（0，）上单增，由f（x）=x（3x2）=0得：x=0或x=，f（1）=2，f（）=f（0）=0，f（1）=0，f（x）在1，1）上的最大值为2当1xe时，f（x）=alnx，当a0时，f（x）0；当a时，f（x）在1，e单调递增；f（x）在1，e上的最大值为a当a2时，f（x）在1，e上的最大值为a； 当a2时，f（x）在1，e上的最大值为2【点评】本题考查了应用导数求极值，最值，属于导数的应用，为高考必考内容三、附加题（一）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分
31、【A选修4-1：几何证明选讲】21如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，ADCP，垂足为D求证：DAP=BAP【考点】与圆有关的比例线段【专题】证明题【分析】利用同弧上的圆周角与弦切角相等，推出APB=90，利用ADCP，推出DAP=BAP【解答】证明：因为CP与圆O 相切，所以DPA=PBA 2分 因为AB为圆O直径，所以APB=90， 所以BAP=90PBA 6分因为ADCP，所以DAP=90DPA， 所以DAP=BAP【点评】本题考查圆的切线与圆的内接三角形的关系，考查逻辑推理能力【B选修4-2：矩阵与变换】22设a0，b0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为
32、椭圆E： =1（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A1【考点】逆变换与逆矩阵【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设点P（x，y）为圆C上一点，经过矩阵A变换后对应点为P（x，y），得P（ax，by）在椭圆E上，化简所得方程与圆C为同一方程，比较系数可得a，b的值；（2）设A1=，由逆矩阵定义建立关于n、m、p、q的方程组，解之可得n、m、p、q的值，从而得到逆矩阵A1【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P（x，y）则，所以 2分因为点P（x，y）在椭圆E：上，所以，这个方程即为圆C方程 6分因为a0，b0，所以a
33、=2，b= 8分（2）由（1）得A=，设A1=，得AA1=m=，n=p=0，q=，可得A1= 10分【点评】本题已知单位圆在矩阵A的作出下变换成的图形，求变换的矩阵A，着重考查了圆的方程、椭圆的标准方程和逆变换与逆矩阵等知识，属于基础题【C选修4-4：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：=4cos被直线l：sin（）=a截得的弦长为2，求实数a的值【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系【专题】选作题【分析】先将圆与直线的极坐标方程化为普通方程，并求出r及圆心到直线的距离，利用即可求出答案【解答】解：圆C：=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，
34、即圆C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，圆心C（2，0），半径r=2直线l：sin（）=a，展开得， 即 直线l的直角坐标方程为 所以圆心C到直线l的距离d=|1+a|因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2d2=即4（1+a）2=3，化为a2+2a=0，解得a=0，或a=2 故实数a的值为0，或2【点评】本题考查了极坐标方程化为普通方程直线与圆相交弦长问题，正确化简及充分利用是解题的关键当然也可以利用弦长公式去求【D选修4-5：不等式选讲】24（2013宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+4【考点】不等式的证明【专题】证明题；不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式，先
35、证明a2+4b24ab，再利用基本不等式，即可证得结论【解答】证明：因为a，b是正数，所以a2+4b24ab（当且仅当a=2b时，取等号） 2分所以a2+4b2+4ab+2=4（当且仅当ab=时取等号，亦即a=1，b=时，取等号）即a2+4b2+4 10分【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题（二）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，PA平面ABCD，ADBC，ABC=90，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角BPCD的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹
36、角；直线与平面垂直的判定【专题】综合题；空间向量及应用【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得=0， =0，即可证得结论；（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论【解答】 （1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），=（，0，），=（0，1，0），=（1，0，1）=0， =0，所以，所以AEBC，AEBP因为BC，BP平面PBC，且BCBP=B，所以AE平面PBC （2）解：设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则=0， =0因为=（1，2
37、，0），=（0，3，1），所以令x=2，则y=1，z=3所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量 8分因为AE平面PBC，所以平面PBC的法向量所以cos，=根据图形可知，二面角BPCD的余弦值为 10分【点评】本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键26已知（x+1）n=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+an；（2）试比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由【考点】二项式定理的应用；数学归纳法【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】（1）通过对x取
38、1，2求出a0及Sn（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+an=3n，Sn=a1+a2+a3+an=3n2n；（2）要比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n（n1）2n+2n2；当n=2，3时，3n（n1）2n+2n2；当n=4，5时，3n（n1）2n+2n2；猜想：当n4时，3n（n1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，（k4）时结论成立，即3k（k1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+13（k1）2k+2k2=k2k+1+2（k+1）2+（k3）2k+4k24k2而（k3）2k+4k24k2=（k3）2k+4（k2k2）+6=（k3）2k+4（k2）（k+1）+603k+1（k+1）1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，当n4时，3n（n1）2n+2n2成立综上得，当n=1时，Sn（n2）2n+2n2；当n=2，3时，Sn（n2）2n+2n2；当n4，nN*时，Sn（n2）2n+2n2【点评】本题考查赋值法是求系数和的重要方法；考查数学归纳法证明与自然数有关的命题
