1、理科数学试卷第 1页共 6页湖南师范大学附属学校2020届高三5月模拟理科数学试题卷本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合2()|2()|Ax yxyBx yyx
2、，则 AB A 1,1B 2,4C 1,1,2,4D 2已知 21 iz=1 i（i 为虚数单位），则复数 z A.1 iB.1 iC.1 i D.1 i 3现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是A甲B乙C丙D丁4已知直线,a b 表示不同的直线,则/ab 的充要条件是A存在平面 ,使/,/abB存在平面 ,使,abC存在直线 c,使,ac bcD存在直线 c,使,a b 与直线 c 所成的角都是605函数()24sinf xxx，,
3、2 2x 的图像大致是A.B.理科数学试卷第 2页共 6页C.D.6362(1)()xxx的展开式中的常数项为A.240B.180C.-60D.-807赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图 1，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图 2 所示的图形，它是由 6 个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设2A FF A,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.2 1313B.413C.2 77D
4、.478关于函数()sincos22xxf x 有下述三个结论：函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；函数()f x 的最小正周期为 ；0Rx，021f x其中正确结论的个数为A0B1C2D39设,a b c 分别是 ABC的内角 A B C,的对边，已知sinsinsinbcACacAC，设 D是 BC 边的中点，且 ABC的面积为3，则ABDADB等于A2B4C-4D-210已知椭圆 C)20(14222bbyx，作倾斜角为 43 的直线交椭圆 于,B 两点,线段 B 的中点为,O 为坐标原点OM 与 MA的夹角为,且tan=3，则b=A1B2C3D 26ABCDE
5、FABCDEF图1图2理科数学试卷第 3页共 6页是否0 ,1Sn开始结束?2019n输 S出3tan nSS1 nn11在四面体 t 中，t ，t ，底面 t，为t 的重心，且直线 与平面 t 所成的角是t，若该四面体 t 的顶点均在球 的表面上，则球 的表面积是A.B.C.D.12已知函数 f(x)mx1nln x(m0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则n2m1的取值范围为A.12,122eeeeB.1,122eeeeC.1,12eeD12,1 e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是14在锐角三角形 ABC 中，sin
6、 23 cos 23,coscos2 2CCcBbC，则ABC的面积的取值范围为_。15已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab,O 是坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为,A B,且OAB为直角,记OAF和OBF的面积分别为,OAFOBFSS,若35OAFOBFSS,则双曲线 C 的离心率为_。16已知数列 na的前 n 项和122nnnSa，若不等式2235nnna对*nN 恒成立，则整数 的最大值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考
7、题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17已知数列na的前 n 项和为*1,(0,N)nS aa aa,1(0nnSpap 且*1,N)pn(1)求数列na的通项公式;(2)在132,kkkaaa,213,kkkaaa 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立,对任意的正整数k,若将123,kkkaaa 按_的顺序排列后构成等差数列,且公差为kd,求p的值理科数学试卷第 4页共 6页及对应的kd.18如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，ABAC，且3PAAB，2AC，E 是棱 PD 的中点(1)求证：/PB平面 AEC；(2)
8、求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；(3)在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M，使得二面角 MACE的余弦值为1010？若存在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由19已知圆221:2Cxy，圆222:4Cxy，如图，1C，2C 分别交 x 轴正半轴于点 E，A 射线OD 分别交1C，2C 于点 B，D，动点 P 满足直线 BP 与 y 轴垂直，直线 DP 与 x 轴垂直（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M，N，射线 OHl 与点 H，且交曲线 C 于点 Q 问：211|MNOQ的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不
9、是定值，请说明理由20在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：理科数学试卷第 5页共 6页（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项目投入研发资金，经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万元、1.14 万元的概率分别为 16、12、13；
10、对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B 项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是(01)pp，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为，每投资十万元，取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元记对 A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2()i 求1，2 的概率分布列和数学期望1E，2E；()ii 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由21设函数()xf xxlnxae，21()2xmxx，其中 aR，e 是自然对数的底数（）若()f
11、x 在(0,)上存在两个极值点，求 a 的取值范围；（）当1()0fe，设()()()F xf xx，mR，若()F x 在(0,)上存在两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212x xe（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos2sinxy(为参数，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin.理科数学试卷第 6页共 6页（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标
12、方程为0,R，点 A 是曲线3C 与1C 的交点，点 B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点O，且4 2AB，求 a 的值.23 选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x2a|xa|，aR.（1）若 f(1)1，求 a 的取值范围；（2）若 a1.1 分若 a12，则 12a1a1，得 a1；2 分理科数学参考答案及解析 第 9页，总 9页若12a1，得 a1，即不等式无解；3 分若 a1，则 2a11a1，得 a1,4 分综上所述，a 的取值范围是(，1)(1，).5 分()由题意知，要使得不等式恒成立，只需f(x)max|y2020|ya|min，6 分当 x(，a时，|x2a|xa|a，f(x)maxa，7 分因为|y2020|ya|a2020|，所以当(y2020)(ya)0 时，|y2020|ya|min|a2020|，9 分即a|a2020|，解得 a1010，结合 a0，所以 a 的取值范围是1010，0).10 分
