1、课时评价作业基础达标练1.（2021山东曲阜一中高二月考）已知平面的一个法向量为n=(1,-1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为( )A.6 B.4C.3 D.2答案：B2.若平面的一个法向量为n，直线l的一个方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是( )A.cos=na|n|a| B.cos=|na|n|a|C.sin=na|n|a| D.sin=|na|n|a|答案：D3.（2021辽宁瓦房店实验高级中学高二月考）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.63 B.102C.155 D.105
2、答案：D4.（2020四川泸州高二联考）如图，在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，SA=2，AC=2，BC=1，ACB=90，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为( )A.1010 B.24C.22 D.31010答案：A5.正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )A.36 B.66C.33 D.63答案：C6.（多选）正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3AB，则( )A.AC1与平面ABC所成角的正弦值为12B.AC1与平面ABC所成角的正弦值为32C.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为34D.AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值
3、为134答案：B ; C解析：取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，则EB1,EC1,EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2，则AA1=23 .A1(0,-1,0),C1(0,1,0),A(0,-1,23),C(0,1,23),B1(3,0,0).AC1=(0,2,-23) .易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,23)，AC1与平面ABC所成角的正弦值为|cosm,AC1|=|mAC1|m|AC1|=|-12423|=32，A错B对.设A1B1的中点为K，连接KC1，易知K(32,-12,0)，易知侧面AA1B1B的一个法
4、向量为KC1=(-32,32,0)，AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cosAC1,KC1|=|AC1KC1|AC1|KC1|=343=34，故C对D错.7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成角的大小为 .答案：45解析：如图，过C作CO平面，O为垂足，连接OA,OM，则OMC为CM与平面所成的角，由题意知CAO=30 .设AC=BC=1，则AB=2，OC=12，易知CM=12AB=22，sinOMC=22，OMC=45，即CM与平面所成角的大小为45 .8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，且
5、PB=6，PC=3+1，BC=2，ACB=45 .求PC与平面ABCD所成角的大小.答案：PA平面ABCD，PCA为PC与平面ABCD所成的角，在PCB中，由余弦定理知，cosPCB=(3+1)2+4-62(3+1)2=2+234(3+1)=12 .又cosPCB=cosACBcosPCA，cosPCA=cosPCBcosACB=1222=22 .又0PCA90，PCA=45 .即PC与平面ABCD所成的角为45 .9.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的动点.（1）证明：平面PAC平面PBC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线AB与平面PBC所成角的正
6、弦值.答案：（1）证明：PA垂直于O所在的平面，BCO所在的平面，PABC，AB为直径，ACBC，PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，BC平面PAC .又BC平面PBC，平面PAC平面PBC .（2）如图，过A作AHPC于点H，连接BH，由（1）知平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBC=PC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PBC所成的角.在RtPAC中，PA=AC=1，AHPC，AH=12PC=22，在RtABH中，sinABH=AHAB=24 .即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为24 .素养提升练10.在正四棱锥P-ABCD中，侧棱与底面所成的角为3，则侧棱所在的直
7、线与底面的边所在的直线所成角的余弦值为( )A.24 B.64 C.34 D.12答案：A解析：如图，连接AC,BC相交于点O，连接PO，则PO平面ABCD，记PDO=1，CDO=2，PDC= .依题意得1=3，2=4，cos=cos1cos2=1222=24，PD与DC所成角的余弦值为24，即侧棱所在的直线与底面的边所在的直线所成的角的余弦值为24 .11.（多选）（2020山东临沂高二检测）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论中正确的有( )A.AD与BC所成的角为30B.AC与BD所成的角为90C.BC与平面ACD所成角的正弦值为33D.AC与平面BCD所成角的大小为45答
8、案：B ; D解析：取BD的中点O，连接AO,CO，则AOBD，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，AO平面ABD，故AO平面BCD .以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OC=1，则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0)，BA=(0,1,1)，AD=(0,1,-1)，BC=(1,1,0)，AC=(1,0,-1)，BD=(0,2,0) .则cosAD,BC=ADBC|AD|BC|=122=12，异面直线AD与BC所成的角为60，故A中结
9、论错误；ACBD=0，ACBD，故B中结论正确；设平面ACD的一个法向量为t=(x,y,z)，则tAC=x-z=0,tAD=y-z=0,取z=1，得x=1,y=1，t=(1,1,1)，设BC与平面ACD所成的角为，则sin=|cosBC,t|=|BCt|BC|t|=223=63，故C中结论错误；易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1)，设AC与平面BCD所成的角为，则sin=|cosAC,n|=|ACn|AC|n|=12=22，=45，故D中结论正确.12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，沿AE将DAE向上折起，使D成为D，且平面AED平面ABCE .则直线
10、AD与平面ABC所成角的正弦值为 .答案：22解析：由题意得ADE为等腰直角三角形，平面AED平面ABCE，AD在平面ABCE内的射影在直线AE上，DAE为直线AD与平面ABC所成的角，DAE=45，其正弦值为22 .13.如图，菱形ABCD中，ABC=60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB=2，CF=3 .若直线FO与平面BED所成的角为45，则AE= .答案： 2解析：如图，以O为原点，OA,OB所在直线分别为x轴，y轴，过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),B(0,3,0),D(0,-3,0),F(-1,0,3)，设AE=a(a0)，
11、则E(1,0,a)，所以OF=(-1,0,3),DB=(0,23,0),EB=(-1,3,-a) .设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z)，则nDB=0nEB=0即23y=0,-x+3y-az=0,则y=0，令z=1，得x=-a，所以n=(-a,0,1)，所以cosn,OF=nOF|n|OF|=a+3a2+110 .因为直线FO与平面BED所成角的大小为45，所以|a+3|a2+110=22，解得a=2或a=-12（舍去），所以AE=2 .14.（2021山东德州一中高二期末）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=BC，ABCD，CD=2AB=DD1，E,F分别为A1B，A
12、D1的中点，ABC=23 .（1）证明：EF平面ABCD；（2）求直线EF与平面FCD所成角的正弦值.答案：（1）证明：连接A1D，BD，如图，易知侧面ADD1A1为矩形，F为AD1的中点，F为A1D的中点，E为A1B的中点，EFBD .BD平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD .（2）连接FC，易知DD1平面ABCD，故以D为原点，垂直于CD的直线为x轴，DC，DD1所在直线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1=2AB=CD=4，则E(3,2,2),F(32,12,2),D(0,0,0),C(0,4,0)，EF=(-32,-32,0)，DF=(32,12,2)，F
13、C=(-32,72,-2) .设平面FCD的一个法向量为m=(a,b,c)，由DFm=0FCm=0得解得b=0,3a+4c=0,令a=4，得c=-3，m=(4,0,-3) .cosEF,m=EFm|m|EF|=-32416+394+34=-21919，所以直线EF与平面FCD所成角的正弦值为21919 .创新拓展练15.（2020湖南衡阳第二十六中学高二期中）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=22，ACB=90，点M在线段A1B1上.（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成的角为30，试确定点M的位
14、置.解析：命题分析本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角和直线与平面的夹角，以及空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.答题要领（1）建立空间直角坐标系.算出向量A1C,AM的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值.（2）求出平面ABC1的一个法向量n，结合题意可得AM与n所成的角为60或120，设点M的横坐标为x，则AM=(x-4,4-x,22)，利用空间向量的夹角公式建立关于x的方程，解出x的值，即可得到满足题意的点M .答案：（1）以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则C(0,0,0),A(4,0
15、,0),A1(4,0,22),B1(0,4,22)，A1C=(-4,0,-22)，A1M=3MB1，M(1,3,22)，则AM=(-3,3,22)，cosA1C,AM=A1CAM|A1C|AM|=42626=3939，异面直线AM与A1C所成角的余弦值为3939 .（2）由（1）得C1(0,0,22),B(0,4,0)，A(4,0,0)，AB=(-4,4,0)，AC1=(-4,0,22)设n=(a,b,c)是平面ABC1的一个法向量，则nAB=-4a+4b=0,nAC1=-4a+22c=0,取a=1，得b=1，c=2，n=(1,1,2)，由直线AM与平面ABC1所成的角为30，可得AM与n所成的角为60或120，|cosAM,n|=12，设点M的横坐标为x，则AM=(x-4,4-x,22)，即|AMn|AM|n|=|1(x-4)+1(4-x)+222|2(x-4)2+(4-x)2+8=22(x-4)2+8=12，解得x=2或x=6，由M在A1B1上可得x=2，即点M为线段A1B1的中点.方法感悟利用向量法求异面直线所成角和直线与平面所成角的两个注意点：（1）求解过程中注意向量的坐标、向量的夹角公式、平面法向量的求法等运算的准确性；（2）设动点的坐标时，要利用向量的共线.
