1、热点突破热点突破高考导航 函数作为高中数学的基础内容之一，在各个知识间起到“中枢”的作用，其概念与性质在高考中，主要考查函数的表示方法(图象、解析式)、分段函数、单调区间、最值的求解，函数的奇偶性和周期性的判断，以及函数性质的综合运用等，试题的难度不大；函数的应用体现了新高考考查应用的理念，在高考中主要体现在函数零点个数的判断、零点取值范围、函数零点与函数图象、方程的解等问题上构建函数模型解决实际问题是函数模型应用考查的热点、重点热点突破热点一 分段函数求值问题解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对
2、数恒等式进行化简求值热点突破【例 1】设 f(x)log3x2t，x0，f(1)2(t1)6，即 t13，解得 t2.故 f(x)log3x22，x0.f(f(2)f(log36)23log362612.答案 12 热点突破探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题热点突破【训练 1】已知 f(x)cosx，x0，fx11，x0，则 f43 f43 的值等于_解析 f43 12，f43 f13 1f23 252，f43 f43 3.答案 3 热点突破热点二 函数性质的三个核心点函数的性质是基本初等函数最核心
3、的知识，主要包括：函数的单调性、周期性、奇偶性、有界性，以及函数图象的对称性、函数的定义域和值域等对于函数性质问题，重在灵活运用，巧妙构建，便可实现函数问题的巧思妙解热点突破核心点 1 已知函数解析式求函数定义域【例 2】(2015南京、盐城模拟)函数 f(x)ln x 1x的定义域为_解析 要使函数 f(x)ln x 1x有意义，则x0，1x0，解得 0 x1，即函数定义域是(0,1答案(0,1 热点突破探究提高 已知函数解析式求解函数定义域的关键在于把握函数解析式的结构特征，准确列出使得解析式的每一部分都有意义的不等式(组)，则不等式(组)的解集就是该函数的定义域常见求解函数定义域的问题主
4、要包含三类式子：分式、根式、对数式求函数定义域时要注意：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数非负；(3)对数的真数大于 0；(4)实际问题中的自变量必须符合实际意义等另外，还应注意指数式与正切式中自变量取值的限制条件，如零次幂的底数不为零；正切函数 ytan x 中，xk2(kZ)热点突破【训练 2】(2014珠海模拟)函数 yx102x1的定义域为_解析 由x10，2x10，得 x12，.答案 12，热点突破核心点 2 基本初等函数性质的判断【例 3】(2014福建卷改编)已知函数 f(x)x21，x0，cos x，x0，给出下列结论：f(x)是偶函数；f(x)是增函数；f(x)
5、是周期函数；f(x)的值域为1，)则上述结论正确的是_(填序号)热点突破解析，f2 cos2 0，而 f2 221244，显然f2 f2，所以函数 f(x)不是偶函数，错，当 x0 时，函数 f(x)单调递增，而 f(x)cos x 在区间(2，)上单调递减，故函数 f(x)不是增函数，错，当 x0 时，f(x)x21(1，)，对任意的非零实数 T，f(xT)f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，错，当 x0 时，f(x)x21(1，)；当 x0 时，f(x)cos x1,1故函数 f(x)的值域为1,1(1，)，即1，)，所以该项正确答案 热点突破探究提高(1)函数单调性的实质就是自变量与
6、函数值的变化是否同向判断函数单调性的方法主要有：定义法、导数法和图象法，而判断复合函数单调性主要依据同增异减的规律(2)判断函数奇偶性主要是利用定义法，即先判断其定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系，若两者相等，则为偶函数；若两者互为相反数，则为奇函数(3)若f(x)为周期函数，则存在非零常数T，使得f(xT)f(x)对定义域内的每一个自变量x都成立热点突破【训练 3】(2014山东实验中学诊断)下列函数：f(x)1x；f(x)x；f(x)2x2x；f(x)tan x其中在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是_(填序号)解析 f(x)1x在定义域上是奇函数，但不单调；f(x
7、)x为非奇非偶函数；f(x)tan x 在定义域上是奇函数，但不单调答案 热点突破核心点 3 函数性质的综合应用【例 4】(1)(2014新课标全国卷)已知偶函数 f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_(2)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，对任意 xR，都有fx32 f(x)，且当 x0，32 时，f(x)log2(2x1)，则 f(2 015)f(2 013)_.热点突破审题流程(1)一审：抓住 f(2)0，代换为 f(x1)f(2)二审：利用偶函数的性质，将不等式转化三审：利用函数 f(x)在0，)上的单调性转化为自变量之间的大小关系求解
8、(2)一审：求函数的周期二审：利用周期转化求函数值三审：求 f(0)？f(2)？热点突破解析(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(x1)0可化为f(|x1|)0.因为f(x)在0，)上单调递减，且f(2)0，所以|x1|2，即2x12，解得1x3.所以x的取值范围是(1,3)热点突破(2)因为函数 f(x)为奇函数且f(0)有定义，故 f(0)0，且 f(2 015)f(2 015)当 x0 时，fx32 f(x)，得 f(x3)f(x)，即 T3，可得 f(2 015)f(36712)f(2)，f(2 013)f(3671)f(0)热点突破由已知 f(0)
9、0，而 f(2)f1232 f12，又 f12 log22121 log221，所以 f(2)f12 1，即 f(2 015)1，故 f(2 015)1.综上，f(2 015)f(2 013)101.答案(1)(1,3)(2)1 热点突破探究提高 函数性质的综合应用主要包括利用函数性质求值、解不等式与比较大小三个方面：求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值；解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解；比较大小问题主要利用奇偶性、周期性、对称性把要比较的几个值转化到同一区间上或对称区间上，再
10、利用函数的单调性解决热点突破【训练4】(2014南京师大附中模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增，则满足不等式f(1)f(lg(2x)的x的取值范围是_解析 根据偶函数的性质可知 f(x)在(，0)上单调递减f(1)f(lg 2x)，则有2x0，|lg 2x|1，解得 x5 或 0 x 120.答案 0，120(5，)热点突破热点三 函数与方程的求解问题函数的零点与方程的解、函数图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下四个方面：(1)函数零点所在区间的确定；(2)函数零点个数的判断；(3)函数零点近似值的求解；(4)由函数零点所在范围或函数零点个数求解参数的取
11、值范围等在高考试题中多作为填空题进行考查，难度中等偏下热点突破【例 5】已知函数 f(x)2x1，x0，fx1，x0，若方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_解析 函数 f(x)2x1，x0，fx1，x0的图象如图所示，当 a1时，函数 yf(x)的图象与函数 yxa 的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根答案(，1)热点突破探究提高 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能热点突破
12、【训练 5】(1)(2014南通、扬州等五市模拟)已知函数 f(x)对任意的 xR 满足 f(x)f(x)，且当 x0 时，f(x)x2ax1.若f(x)有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是_(2)函数 f(x)x1212x的零点个数为_解析(1)由函数 f(x)对任意的 xR 满足 f(x)f(x)得该函数是偶函数，所以若 f(x)有 4 个零点，则当 x0 时，f(x)x2ax1 有 2 个零点，所以a240，a20，解得 a2，则实数 a 的取值范围是(2，)热点突破(2)f(x)x 12x 的零点，即令 f(x)0.根据此题可得 x 12x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数 yx1
13、2和指数函数 y12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个答案(1)(2，)(2)1 热点突破热点四 构建函数模型解决实际问题对函数模型应用的考查，以根据已知条件构建函数模型解决实际问题为热点考向，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题热点突破【例6】(2015镇江模拟)某校为了落实“每天阳光运动一小时”活动，决定将原来的矩形操场ABCD(其中AB60米，AD40米)扩建成一个更大的矩形操场AMPN(如图)，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形A
14、MPN的面积小于15 000平方米(1)设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；(2)当AN的长为多少米时，矩形AMPN的面积最小，并求最小面积热点突破解(1)由NDCNAM，可得DNNADCAM，x40 x 60AM，即 AM 60 xx40，故 SANAM 60 x2x40，由 S 60 x2x4015 000 且 x40，可得 x2250 x10 0000，解得 50 x200，故所求函数的解析式为 S 60 x2x40，定义域为(50,200)热点突破(2)令 x40t，则由 x(50,200)，可得 t(10,160)，故 S 60
15、x2x4060t402t60t1 600t80602t1 600t80 9 600，当且仅当 t1 600t，即 t40 时 S9 600.又 40(10,160)，故当 t40 时，S 取最小值 9 600.所以当 AN 的长为 80 米时，矩形 AMPN 的面积最小，最小面积为9 600 平方米热点突破探究提高(1)构建函数模型的重点题型及策略重点题型破解策略构建二次函数模型求解选择恰当的量为自变量 x，将相关量用 x表示，根据题中条件的等量关系构建二次函数模型，利用二次函数的图象与性质求解构建对勾函数 f(x)xax(a0)模型求解根据题意构建函数模型 f(x)xax(a0)，用基本不等
16、式或导数法求其最值热点突破续表构建高次函数或复杂的分式结构函数模型根据题意，抓住题中的等量关系，构建三次或复杂的分式结构函数模型用导数法求最值构建分段函数模型根据题意，分别求出不同范围的函数表达式，做到分段合理、不重不漏分段求出各段函数的最大(小)值，比较得所求最大(小)值热点突破(2)特别提醒 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解热点突破【训练 6】(2015苏北四市调研)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的函
17、数关系式近似为y 168x1，0 x4，512x，4x10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用热点突破(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的净化剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效净化空气，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据：21.4)热点突破解(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度 f(x)4y 648x4，0 x4，202x，4x10.则当 0 x4 时，由 648x44，解得 x0，所以此时 0 x4.当 4x10 时，由 202x4，解得 x8，所以此时 4x8.综合得 0 x8，若一次投放 4 个单位的制剂，则有效净化时间可达 8 天热点突破(2)设从第一次喷洒起，经 x(6x10)天，浓度 g(x)2512x a168x61 10 x 16a14xa(14x 16a14xa4.因为 14x4,8，而 1a4，所以 4 a4,8，故当且仅当 14x4 a时，y 有最小值为 8 aa4.令 8 aa44，解得 2416 2a4，所以 a 的最小值为 2416 21.6.
