1、章末总结体系构建题型整合题型1 圆锥曲线的定义及应用例1 （1）（2021黑龙江双鸭山一中高二期中）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点F1,F2 的距离之比为2:1，且存在PF1F2 ，则称此椭圆或双曲线存在“ 点”，下列曲线中存在“ 点”的是( )A.x236+y232=1 B.x216+y215=1C.x25-y24=1 D.x2-y215=1（2）已知点P 是抛物线x2=4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，求|PA|+|PQ| 的最小值.答案：（1）C解析：（1）|PF1|PF2|=21 ，则|PF1|=2|PF2| ，若是椭圆，则|P
2、F1|+|PF2|=3|PF2|=2a ，所以|PF2|=2a3 ，|PF1|=4a3 ；若是双曲线，则|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a ，|PF1|=4a .A 中椭圆，a=6 ，c=2 ，|PF2|=4 ，|PF1|=8 ，|F1F2|=4 ，不存在PF1F2 ，不存在“ 点”；B 中椭圆，a=4 ，c=1 ，|PF2|=83 ，|PF1|=163 ，|F1F2|=2 ，不存在PF1F2 ，不存在“ 点”；C 中双曲线，a=5 ，c=3 ，双曲线上的点到右焦点的距离的最小值是c-a=3-52a ，|PF2|=25 ，|PF1|=45 ，|F1F2|=6 ，构成PF1F2 ，存在“
3、点”；D 中双曲线，a=1,c=4 ，双曲线上的点到右焦点的距离的最小值是c-a=32a,|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=8 ，不存在PF1F2, 不存在“ 点”.故选C.答案：（2）抛物线的焦点为F(0,1) ，准线方程为y=-1 ，如图，设点P 在准线上的射影是点M ，根据抛物线的定义知，|PF|=|PM|=|PQ|+1 ，所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1=82+(7-1)2-1=10-1=9 ，当且仅当A,P,F 三点共线时，等号成立.故|PA|+|PQ| 的最小值为9.方法归纳（1）涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三
4、角形问题时，常用定义并结合图象解题.（2）求抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.迁移应用1.已知A(-4,0) ，B 是圆(x-1)2+(y-4)2=1 上的点，点P 在双曲线x29-y27=1 的右支上，则|PA|+|PB| 的最小值为( )A.9B.25+6 C.10D.12答案：C解析：设点C(1,4) ，因为点B 在圆上，所以|PB|PC|-r=|PC|-1 ，设点A 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右焦点，所以由双曲线定义知|PA|=|PA|+2a=|PA|+6 ，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB|+6|PA|+|
5、PC|+6-1|AC|+5=5+5=10 .2.已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，抛物线上的一点M(2,m) 满足|MF|=6 ，则抛物线C 的方程为 .答案：y2=16x解析： 抛物线C:y2=2px(p0) ， 抛物线的准线方程是x=-p2 ， 抛物线上的一点M(2,m) 到焦点F 的距离是6， 由抛物线的定义可得点M(2,m) 到准线的距离也是6，即2+p2=6 ，解得p=8 ， 抛物线C 的方程是y2=16x .题型2 圆锥曲线的方程例2（1）（2021河南豫南九校高二联考）已知椭圆C:x2m2+y2n2=1(m0,n0,mn) ，长轴长为4，离心率为22 ，则椭圆C
6、的标准方程为( )A.x24+y22=1 B.x24+y22=1 或x22+y24=1C.x216+y28=1 D.x216+y28=1 或x28+y216=1（2）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，点M 为圆O:x2+y2=12 与C 的一个交点，且|MF|=3 ，则C 的标准方程是( )A.y2=2x B.y2=3xC.y2=4x D.y2=6x答案：（1）B（2）C解析： （1）设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，离心率为e . 长轴长为4，2a=4 ，a=2 ，a2=4 ，e=22 ，e2=12=c2a2=a2-b2a2=4-b24 ，b2=
7、2 ， 当椭圆C 的焦点在x 轴上时，椭圆C 的标准方程为x24+y22=1 ；当椭圆C 的焦点在y 轴上时，椭圆C 的标准方程为x22+y24=1 ，故选B.（2）设抛物线C 的方程为y2=2px(p0) ，M(xM,yM) ，连接MO ，过M 作MM1 准线，交y 轴于M2 ，因为|MF|=3=xM+p2 ，所以|MM2|=xM=3-p2 ，所以|M2O|=yM=2pxM=6p-p2 ，在RtOMM2 中，|M2O|2+|MM2|2=|MO|2 ，所以6p-p2+(3-p2)2=12 ，解得p=2 ，所以抛物线C 的标准方程为y2=4x ，故选C.方法归纳 求圆锥曲线方程的一般步骤：求已知
8、曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.迁移应用3.（2021福建南平高级中学高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的离心率e=32 ，且与椭圆x212+y23=1 有相同的焦点，则C 的标准方程为( )A.x28-y210=1 B.x24-y25=1C.x25-y24=1 D.x24-y23=1答案：B解析：因为双曲线C 的离心率e=32 ，所以ca=32 .又椭圆x212+y23=1 与双曲线C 有相同的焦点，所以双曲线C 的焦点为(3,0) ，即c=3 ，则a=2 ，所以b2=c2-a2=9-4=5 ，则双曲线C 的标准方程为x24-y25
9、=1 .4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0) 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，ABO 的面积为23 ，则抛物线的标准方程为 .答案： y2=42x解析： 因为ca=2 ，所以ba=3 ，所以双曲线的渐近线方程为y=3x .又抛物线y2=2px(p0) 的准线方程为x=-p2 ，联立得y=3x,x=-p2y=-32p ，所以|AB|=3p .因为SABO=123pp2=23 ，所以p=22 或-22 （舍去），所以抛物线的标准方程为y2=42x .题型3 圆锥曲线的几何性质例3 （1）设椭圆C:x2a2+
10、y2b2=1(ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2 ，其焦距为2c ，点Q(c,a2) 在椭圆的外部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF1|+|PQ|32|F1F2| 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.(22,56) B.(22,34)C.(56,1) D.(34,1)（2）已知F1,F2 分别为双曲线x2a2-y2b2=1(ab0) 的左、右焦点，以F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M,N ，设四边形F1NF2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S=p2 ，则该双曲线的渐近线方程为 .答案：（1）C（2）y=22x解析： （1）因为点Q(c,a2)
11、在椭圆的外部，所以a2b2a ，即a22b2 ，所以e=1-b2a222 ，又|PF1|+|PQ|32|F1F2| 恒成立，所以|PF1|+|PQ|=2a+|PQ|-|PF2|2a+|QF2|=2a+a2=52a3c ，即a6c5 ，所以e=ca56 .又e1 ，所以e(56,1) .（2）由题意可得|MF1|-|MF2|=2a ，|MF1|+|MF2|=p2 ，解得|MF1|=a+p4 ，|MF2|=p4-a ，又F1F2 为圆的直径，所以四边形F1NF2M 为矩形，所以S=|MF1|MF2|=(p4)2-a2 ，即p232=p216-a2 ，即p2=32a2 ，由|MF1|2+|MF2|2
12、=|F1F2|2 得2a2+p28=4c2 ，即3a2=2c2 ，a2=2b2 ，所以ba=22 ，所以该双曲线的渐近线方程为y=22x .方法归纳应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合、方程等思想的综合运用. 迁移应用5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且与C 的左支交于M,N 两点，若|MN|=2 ，ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A.y=3x B.y=33xC.y=2x D.y=12x答案： B解析：设双曲线的另一个焦点为F ，由双曲线的对称性知，四边形AFBF
13、是矩形，所以SABF=SAFF ，即bc=8 ，由x2+y2=c2,x2a2-y2b2=1, 得y=b2c ，所以|MN|=2b2c=2 ，所以b2=c ，所以b=2 ，c=4 ，所以a=23 ，故C的渐近线方程为y=33x .6.已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，点M(x0,22)(x0p2) 是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线x=p2 交于E,G 两点，若sinMFG=13 ，则p= .答案： 2解析：作MDEG ，垂足为点D （图略）.因为点M(x0,22)(x0p2) 在抛物线上，所以8=2px0 ，即px0=4 .由抛物线的性质得|DM|=x0-p2 ，因为
14、sinMFG=13 ，所以|DM|=13|MF|=13(x0+p2) ，所以x0-p2=13(x0+p2) ，解得x0=p ，联立，解得x0=p=-2 （舍去）或x0=p=2 .题型4 圆锥曲线中的证明问题例4已知曲线C 上的任意一点P 到定点F(1,0) 的距离比它到定直线x=-2 的距离少1.（1）求曲线C 的方程；（2）已知A(-1,0) ，过点F 作直线l 与曲线C 交于M,N 两点.求证：直线AM ，AN 关于x 轴对称.答案：（1）因为曲线C 上的任意一点P 到定点F(1,0) 的距离比它到定直线x=-2 的距离少1，所以点P 到定点F(1,0) 的距离和它到定直线x=-1 的距离
15、相等，所以曲线C 的轨迹为抛物线，且p=2 ，故曲线C的方程为y2=4x .（2）证明：易知直线l 与x 轴不重合，所以可设l:x=my+1 ，M(x1,y1),N(x2,y2) ，由x=my+1,y2=4x, 消去x 得y2-4my-4=0 ，因此y1+y2=4m ，y1y2=-4 .因为kAM+kAN=y1x1+1+y2x2+1=y1my1+2+y2my2+2=2my1y2+2(y1+y2)(my1+2)(my2+2)=-8m+8m(my1+2)(my2+2)=0 ，所以kAM=-kAN ，即FAM=FAN ，故直线AM ，AN 关于x 轴对称.方法归纳解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲
16、线的性质、位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.迁移应用7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的长轴长是焦距的2倍，且过点(-1,32) .（1）求椭圆C 的方程；（2）设P(x,y) 为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 满足PP=(4-x,0) .证明：|PP|FP| 是常数.答案：（1）由题意可得a=2c ，1a2+94b2=1 ，a2=b2+c2 ，解得a2=4 ，b2=3 ，所以椭圆C 的方程为x24+y23=1 .（2）证明：由（1）可得A(-2,0),B(2,0),F(1,0)
17、，因为P(x,y) 为椭圆C 上的动点，所以x24+y23=1 ，又点P 满足PP=(4-x,0) ，所以|PP|=|4-x| ，且|PF|=(x-1)2+y2=(x-1)2+3(1-x24)=14x2-2x+4=12(x-4)2=12|x-4| ，所以|PP|PF|=|4-x|12|x-4|=2 ，所以|PP|PF| 为常数2.题型5 圆锥曲线中的轨迹问题例5（2021重庆万州沙河中学高二月考）已知点A(-2,0) 和点B(2,0) ，动点P 满足APBP=0 .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.答案：（1）设P(x,y)
18、 ，则AP=(x+2,y) ，BP=(x-2,y) ，由APBP=0 得(x+2)(x-2)+y2=0 ，即x2+y2=4 ，所以动点P 的轨迹方程是x2+y2=4 .（2）设M(x0,y0) ，则P(x0,2y0) ，因为点P 在圆x2+y2=4 上，所以x02+(2y0)2=4 ，即x024+y02=1 ，所以线段PQ 的中点M 的轨迹方程是x24+y2=1 .方法归纳求圆锥曲线中的轨迹方程的三种方法：（1）直接法：把题设条件直接“翻译”成含x ，y 的等式就能得到轨迹方程.（2）定义法：运用解析几何中常用的定义（如圆锥曲线的定义），直接写出轨迹方程，或从圆锥曲线的定义出发建立关系式，从而
19、求出轨迹方程.（3）相关点法：首先要有主动点和从动点，若主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.迁移应用 8.已知点A(1,0) ，E,F 为直线x=-1 上的两个动点，且AEAF ，动点P 满足EPOA,FOOP （其中O 为坐标原点）.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若直线l 与动点P 的轨迹曲线相交于M、N 两点，OMON=-4 ，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.答案： （1）设P(x,y)、E(-1,a)、F(-1,b) ，则AE=(-2,a) ，AF=(-2,b) ，EP=(x+1,y-a) ，OA=(1,0) ，FO=(1,-b) ，OP=(x,y) .由AEAF
20、，得AEAF=4+ab=0 ，且点E、F 均不在x 轴上，故ab=-4 ，且a0,b0 .由EPOA ，得y-a=0 ，即y=a .由FOOP ，得bx+y=0 ，即y=-bx .所以y2=-abx=4x ，所以动点P 的轨迹方程为y2=4x(x0) .（2）若直线l 的斜率为0，则直线l 与动点P 的轨迹曲线至多有一个公共点，不符合题意，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为x=ty+n(n0) .由x=ty+n,y2=4x, 得y2-4ty-4n=0 .设M(x1,y1)、N(x2,y2),则y1+y2=4t ，y1y2=-4n .OMON=x1x2+y1y2=(y1y2)216+
21、y1y2=n2-4n=-4 ，解得n=2 ， 直线l 的方程为x=ty+2, 即直线l 恒过定点(2,0).高考链接1.（2020北京，7，4分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQl 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP答案： B解析：如图所示：因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F,Q 的距离相等，且点P 在抛物线上，所以根据定义可知，|PQ|=|PF| ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .2.（2020天津，7，5分）设双曲线C 的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0
22、) ，过抛物线y2=4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x24-y24=1 B.x2-y24=1C.x24-y2=1 D.x2-y2=1答案：D解析：由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的方程为x+yb=1 ，即直线l 的斜率为-b ，又双曲线C 的渐近线方程为y=bax ，所以-b=-ba ，-bba=-1 ，因为a0,b0 ，所以a=1 ，b=1 ，故双曲线C的方程为x2-y2=1 .3.（多选题）（2020新高考，9，5分）已知曲线C：mx2+ny2=1 .( )A.若mn0 ，则C 是
23、椭圆，其焦点在y 轴上B.若m=n0 ，则C 是圆，其半径为nC.若mn0 ，则C 是双曲线，其渐近线方程为y=-mnxD.若m=0,n0 ，则C 是两条直线答案：A ; C ; D解析： 若mn0 ，则mx2+ny2=1 可化为x21m+y21n=1 ，因为mn0 ，所以01m1n ，即曲线C 表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；若m=n0 ，则mx2+ny2=1 可化为x2+y2=1n ，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn 的圆，故B不正确；若mn0 ，则mx2+ny2=1 可化为x21m+y21n=1 ，此时曲线C 表示双曲线，由mx2+ny2=0 可得y=-mnx ，故C正确；若m=
24、0,n0 ，则mx2+ny2=1 可化为y=nn ，此时C 表示平行于x轴的两条直线，故D正确.4.（2020新高考，13，5分）斜率为3 的直线过抛物线C:y2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|= .答案： 163解析：设B(x1,y1),A(x2,y2) ， 抛物线C 的方程为y2=4x ， 抛物线C 的焦点F 的坐标为(1,0)，又 直线AB 过焦点F 且斜率为3 ， 直线AB 的方程为y=3(x-1) ，代入抛物线的方程消去y 并化简得3x2-10x+3=0 ，解得x1=13 ，x2=3 ，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3|3-13|=163 .5.（202
25、0天津，18，15分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的一个顶点为A(0,-3) ，右焦点为F ，且|OA|=|OF| ，其中O 为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC=OF ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.答案：（1） 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的一个顶点为A(0,-3) ，b=3 ，由|OA|=|OF| 得c=b=3 ，由a2=b2+c2 得a2=32+32=18 ， 椭圆的方程为x218+y29=1 .（2） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，CP
26、AB ，根据题意可知，直线AB和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y+3=kx ，即y=kx-3 ，联立得y=kx-3,x218+y29=1, 消去y ，可得(2k2+1)x2-12kx=0 ，解得x=0 （舍去）或x=12k2k2+1 .将x=12k2k2+1 代入y=kx-3 ，得y=k12k2k2+1-3=6k2-32k2+1 ， 点B 的坐标为(12k2k2+1,6k2-32k2+1) ，P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,-3)， 点P 的坐标为(6k2k2+1,-32k2+1) ，由3OC=OF 得点C 的坐标为(1,0)， 直线CP 的斜率kCP=-32k2+1
27、-06k2k2+1-1=32k2-6k+1 ，又CPAB ，k32k2-6k+1=-1 ，整理得2k2-3k+1=0 ，解得k=12 或k=1 . 直线AB 的方程为y=12x-3 或y=x-3 .6.（2020北京，20，15分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 过点A(-2,-1) ，且a=2b .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点B(-4,0) 的直线l 交椭圆C 于点M,N ，直线MA ，NA 分别交直线x=-4 于点P,Q .求|PB|BQ| 的值.答案：（1）由题意可得4a2+1b2=1,a=2b, 解得a2=8,b2=2, 故椭圆C的方程为x28+y22=1 .（2）由题意得直
28、线l的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+4) ，当k0 时，直线l 与椭圆C 交于M、N 两点，设M(x1,y1),N(x2,y2) ，联立得x28+y22=1, y=k(x+4), 化简并整理得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0 ，则x1+x2=-32k24k2+1 ，x1x2=64k2-84k2+1 ，=(32k2)2-4(4k2+1)(64k2-8)=32(1-4k2)0 ，解得-12k12 .直线MA 的方程为y+1=y1+1x1+2(x+2) ，令x=-4 ，可得yP=-2y1+1x1+2-1=-2k(x1+4)+1x1+2-x1+2x
29、1+2=-(2k+1)(x1+4)x1+2 ，同理可得yQ=-(2k+1)(x2+4)x2+2 .yP+yQ=-(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=-(2k+1)(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2) ，(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2x1x2+3(x1+x2)+8=264k2-84k2+1+3-32k24k2+1+8=0 ，yP+yQ=0 ，即yP=-yQ ，从而|PB|BQ|=|yP|yQ|=1 .当k=0 时，易得直线l 与椭圆C 的两个交点分别为(-22,0) 和(22,0) ，不妨设M(-22,0),N(22,0) .则直线MA 的方程为y=-2+12(x+22) ，令x=-4 ，得yP=2 ，同理可得yQ=-2 ，此时也满足|PB|BQ|=1 .综上所述，|PB|BQ|=1 .
