1、2.3.2 两点间的距离公式课外解读课标要求素养要求1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.1.数学抽象从具体实例中抽象出平面上两点间的公式.2.逻辑推理会推导平面上两点间的距离公式.3.数学运算会求出两点间的距离.自主学习必备知识教材研习教材原句1.两点间的距离公式：P1(x1,y1),P2(x2,y2) 两点间的距离公式为|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 .2. 利用“ 坐标法 ”解决平面几何问题的基本步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.自主思
2、考1.已知点A(a,2a) ，点B(-a,-a) ，a0 ，则A 、B 两点间的距离是多少？提示 |AB|=(a+a)2+(2a+a)2=13a .2.在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C ，以方便居住在两个小区的住户的出行，如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？这个最小值如何求？提示 采用坐标法，以公路为x 轴，建立平面直角坐标系，如图，A ，B 是两个小区，作A 关于x 轴的对称点A ，连接AB 交x 轴于点P ，则公交站点C 设置在P 时，C 到两个小区的距离之和最小，写出A ，B 的坐标，求出A 的坐标，利用两点间的距离公式求解.名师点睛 1.用
3、两点间的距离公式时需要注意以下几点（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说，公式也可写成|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 .（2）当直线P1P2 平行于x 轴时，|P1P2|=|x2-x1| .（3）当直线P1P2 平行于y 轴时，|P1P2|=|y2-y1| .2.用坐标法解决平面几何问题时，关键是结合图形的特征，建立适当的平面直角坐标系.互动探究关键能力探究点一 求两点间的距离精讲精练例（1）求直线2x+my+2=0(m0) 与两坐标轴的交点之间的距离；（2）求直线l：y=x 被两条平行直线x+y-2=0 和x+y-4=0 截得的线段的长.答案： （1）易知直线2x+my
4、+2=0 与x 轴的交点为(-1,0)，与y 轴的交点为(0,-2m) ， 两交点之间的距离d=(-1-0)2+(0+2m)2=1+4m2 .（2）联立得y=xx+y-2=0 ，得交点坐标为(1,1)，联立得y=xx+y-4=0 ，得交点坐标为(2,2)， 所求线段的长为(2-1)2+(2-1)2=2 .解题感悟两点间的距离公式适用于任意两点P1(x1,y1),p2(x2,y2) ，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷.迁移应用已知两点A(a,-ab) 和B(b,ab) ，则|AB|= .答案： |a+b|解析： |AB|=(a-b)2+(-ab-ab)2=a2+2ab+b2=|a+b|探究点二
5、 两点间距离公式的应用精讲精练类型1 求参数 例1 已知点P(a,2) ，Q(-2,-3) ，M(1,1) ，且|PQ|=|PM| ，则a 的值是( )A.-2B.2C.-92 D.92解析：思路分析 根据平面直角坐标系上任意两点间的距离公式计算即可.答案： C解析：因为点P(a,2) ，Q(-2,-3) ，M(1,1) ，且|PQ|=|PM| ，所以a-(-2)2+2-(-3)2=(a-1)2+(2-1)2 ，解得a=-92 ，故选C.解题感悟已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验.类型2 判断三角形的形状例2 已知点A(-2,-1) ，B （(-4,-3
6、)，C(0,-5) ，求证：ABC 是等腰三角形.思路分析 根据已知条件及两点间的距离公式分别求出|AB| ，|AC| ，|BC| 的值，得出|AC|=|BC| ，再由A ，B ，C 三点不共线，即可证明ABC 是等腰三角形.答案：证明 A(-2,-1) ，B(-4,-3) ，C(0,-5) ，|AB|=(-4+2)2+(-3+1)2=22 ，|AC|=(0+2)2+(-5+1)2=25 ，|BC|=(0+4)2+(-5+3)2=25 ，|AC|=|BC| ，又kAC=-1+5-2-0=-2 ，kBC=-3+5-4-0=-12 ，A ，B ，C 三点不共线，ABC 是等腰三角形.解题感悟判断三
7、角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断.迁移应用1.已知点M(x,-4) 与点N(2,3) 之间的距离为72 ，则x 的值为 .答案： 9或-5解析： 由题意得|MN|=(x-2)2+(-4-3)2=72 ，即x2-4x-45=0 ，解得x1=9 ，x2=-5 .故x的值为9或-5.2.已知ABC 的顶点为A(-3,1) ，B(3,-3) ，C(1,7) .（1）求BC 边上的高AD 所在直线的方程；（2）证明：ABC 为等腰直角三角形.答案：（1） 直线BC 的斜率kBC=7+31-3=-5 ，BC 边上的高AD 所在直线的斜率kAD=15 ，BC 边上的
8、高AD 所在直线的方程为y-1=15(x+3) ，即x-5y+8=0 .（2）证明：|AB|=3-(-3)2+(-3-1)2=213 ，|BC|=(1-3)2+7-(-3)2=226 ，|AC|=1-(-3)2+(7-1)2=213 ，|AB|2+|AC|2=|BC|2 ，且|AB|=|AC| ，ABC 为等腰直角三角形.探究点三 坐标法的应用精讲精练 例 在ABC 中，AO 是BC 边上的中线，用坐标法求证：|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2) .答案：证明 以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则O(0,0) ，设B(-a,0) ，C
9、(a,0) ，A(m,n) ，其中a0 ，则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+n2+a2) ，|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2 ，故|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2) .解题感悟用坐标法证明平面几何问题的注意事项：（1）用坐标法证明平面几何问题时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；（2）根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；（3）在证明过程中要不失一般性.迁移应用1.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.答案：证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0,
10、a),B(b,0) ，则AB 的中点C 的坐标为(b2,a2) .|CA|=(b2-0)2+(a2-a)2=a2+b22 ，|CB|=(b2-b)2+(a2-0)2=a2+b22 ，|CO|=(b2-0)2+(a2-0)2=a2+b22 ，|CA|=|CB|=|CO| ，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.2.如图，ABD 和BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形.用坐标法证明：|AE|=|CD| .答案：证明 以点B 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设ABD 和BCE 的边长分别为a 和c ，则A(-a,0) ，C(c,0) ，E(c2,3c2
11、) ，D(-a2,3a2) ，|AE|=(c2+a)2+(3c2-0)2=a2+ac+c2 ，|CD|=(c+a2)2+(0-3a2)2=a2+ac+c2,|AE|=|CD| .评价检测素养提升课堂检测1.已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则线段AB 的长为( )A.10B.5C.8D.6答案： A解析：设A(a,0) ，B(0,b) ，则a=6 ，b=8 ，即A(6,0) ，B(0,8) ，所以|AB|=(6-0)2+(0-8)2=36+64=10 .2.到A(1,3) ，B(-5,1) 两点的距离相等的动点P 的轨迹方程是 .答案： 3x+y+
12、4=0解析：设P(x,y) ，则(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2 ，即3x+y+4=0 .3.已知点A(2,3) ，B(4,1) ，ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l：x-2y+2=0 上.（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程；（2）求ABC 的面积.答案：（1）由题意可知，E 为AB 的中点，kAB=1-34-2=-1 ，所以E(3,2) ，kCE=-1kAB=1 ，所以CE 所在直线的方程为y-2=x-3 ，即x-y-1=0 .（2）联立得x-2y+2=0x-y-1=0 ，解得x=4y=3 ，所以C(4,3) .因为A(2,3),B(4,1)
13、，且由（1）知E(3,2) ，所以|EC|=(4-3)2+(3-2)2=2 ，|AB|=(4-2)2+(1-3)2=22 ，所以SABC=12|AB|EC|=2 .素养演练 直观想象、逻辑推理在解决距离最值问题中的应用设直线l:(2+3k)x+(k-1)y+2k+3=0 ，其中kR ，d 是点P(2,2) 到直线l 上任意一点的距离，试问：d 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.答案： 将直线l 的方程变形为(2x-y+3)+k(3x+y+2)=0 ，对于kR ，此方程恒成立，则2x-y+3=03x+y+2=0 ，解得x=-1y=1 ，即直线l 恒过直线2x-y+3=0
14、和直线3x+y+2=0 的交点M(-1,1) .由图可知，对于任何一条过点M 的直线上的一点，点P 到它的距离不超过|PM|=10 ，因为过点M 且垂直于PM 的直线的方程是3x+y+2=0 ，且无论k 取任何实数，直线l 都不能表示为3x+y+2=0 ，所以d10 ，所以d 不存在最大值.素养探究：根据直线l:(2+3k)x+(k-1)y+2k+3=0 只含一个参数，可以将其方程以参数k 进行整理，然后运用恒等式，求出定点M ，渗透了逻辑推理的素养;结合图形得d|PM| ，再探究是否存在最大值，渗透了直观想象的素养.迁移应用（2021重庆高二月考）已知A(-2,1) ，B(1,2) ，点C 为直线y=13x 上的一个动点，则|AC|+|BC| 的最小值为 .答案： 25解析： 由题意知A、B 两点在直线y=13x 的同侧.设A 关于直线y=13x 的对称点M 的坐标为(a,b) ，则b-1a+213=-11+b2=13a-22 ，解得a=-1 ，b=-2 ，A 关于直线y=13x 的对称点M 的坐标为(-1,-2)，故当点C为直线BM 和直线y=13x 的交点时，|AC|+|BC| 取得最小值，为|BM|=(1+1)2+(2+2)2=25 .
