1、5.7 三角函数的应用课标解读课标要求素养要求1.理解三角函数的性质.2.掌握三角函数的实际应用.1.直观想象会用三角函数图象的性质解决实际问题.2.数学运算会用三角恒等变换解决相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句 要点一 简谐运动在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(x+),x0,+) 表示,其中A0,0 .要点二 描述简谐运动的物理量A 就是这个简谐运动的 振幅 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=2 ,它是做简谐运动的物体往复运
2、动一次所需要的 时间 ；这个简谐运动的顿率由公式f=1T=2 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的 次数 ；x+ 称为 相位 ；x=0 时的相位 称为 初相 .自主思考1.y=2sin(4x+6) 的周期是多少？答案：提示 T=24=8 ，故周期为8.2.y=2sin(4x+6) 的相位、初相答案：提示 相位是4x+6 ，初相是6 .互动探究关键能力探究点一 三角函数模型的实际应用精讲精练 例 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （时）的函数,其中0t24 ,记y=f(t) ,下表是某日各时的浪高数据:t （时）03691215182124y （米）1.51.00.51.0
3、1.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t) 的图象可近似地看成是函数y=Acost+B 的图象.（1）根据以上数据,求函数y=f(t) 的解析式及其最小正周期、振幅；（2）根据规定,当海浪高度大于1米时该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,请依据（1）中的结论,判断一天内从8:00到20:00之间,有多少时间可对冲浪爱好者开放.答案：（1）由题表中的数据可知,T=12 ,所以=2T=6 .因为t=0 时,y=1.5 ,所以A+B=1.5 ,又t=3 时,y=1.0 ,所以B=1.0 ,所以A=12 ,所以函数的解析式为y=f(t)=12cos6t+1(0t24) .（2）因为当y1 时,
4、该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,所以y=12cos6t+11 ,即cos6t0 ,所以2k-26t2k+2(kZ) ,即12k-3t12k+3(kZ) .又0t24 ,所以0t3 或9t15 或21t24 ,所以在规定时间内只有6个小时对冲浪爱好者开放.解题感悟三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模迁移应用1.某实验室一天的温度（单位： ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：f(t
5、)=10-3cos12t-sin12t,t0,24) .（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间内实验室需要降温？答案：（1）因为f(t)=10-2(32cos12t+12sin12t)=10-2sin(12t+3) ,0t24 ,所以312t+373 ,所以-1sin(12t+3)1 .当t=2 时,sin(12t+3)=1 ；当t=14 时,sin(12t+3)=-1 .所以f(t) 在0,24) 上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天内的最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .（2）依题意,当f(t)11 时实验室需要降温.由（1）
6、得f(t)=10-2sin(12t+3) ,故有10-2sin(12t+3)11 ,即sin(12t+3)-12 .所以7612t+3116 ,又0t24 ,所以10t18 .故在10时至18时内实验室需要降温.探究点二 三角函数在物理中的应用精讲精练例 单摆从某点开始来回摆动,已知离开平衡位置的位移s （单位:cm ）和时间t （单位:s ）的函数关系式为s=6sin(2t+6) .（1）作出函数的图象；（2）当单摆开始摆动(t=0) 时,离开平衡位置的位移是多少?（3）当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?（4）单摆来回摆动一次需要多长时间?答案：（1）函数的图象如图所示.（2）
7、当t=0 时,s=6sin6=3 ,所以此时离开平衡位置的位移是3cm .（3）当单摆摆动到最右边时,s 有最大值6,即此时离开平衡位置的位移是6cm .（4）因为T=22=1 ,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s .解题感悟三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.迁移应用1.交流电的电压E （单位:V ）与时间t （单位:s ）的关系可用E=2203sin(100t+6) 来表示,求:（1）开始(t=0) 时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和
8、第一次取得最大值的时间.答案：（1）当t=0 时,E=1103 ,即开始时的电压为1103V .（2）T=2100=150 ,即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02s .（3）电压的最大值为2203V ,当100t+6=2 ,即t=1300s 时第一次取得最大值.评价检测素养提升课堂检测1.下图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为-5cmC.该质点在0.1s 和0.5s 时的振动速度最大D.该质点在0.3s 和0.7s 时的加速度为零答案： D2.电流强度I 与时间t 的函数关系式为I=Asin(t+)(A0,0) ,其在一个周期内的函
9、数图象如图所示,则该函数的解析式为( )A.I=300sin(50t+3) B.I=300sin(50t-3)C.I=300sin(100t+3) D.I=300sin(100t-3)答案： C解析：由题图可知,A=300,T=2(1150+1300)=150 ,所以=2T=100 ,所以I=300sin(100t+) .将点(-1300,0) 代入,得300sin(-1300100+)=0 ,即100(-1300)+=k,kZ ,解得=3+k,kZ ,令k=0 ,得=3 ,所以I=300sin(100t+3) .故选C.3.当心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和
10、舒张压.健康成年人的收缩压和舒张压的范围一般为90140mmHg 和6090mmHg .设某人的血压满足函数p(t)=115+25sin160t ,其中p(t) 为血压(mmHg) ,t 为时间(min) ,则函数p(t) 的周期为 ；此人每分钟心跳的次数为 .答案： 180 ; 804.如图,某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数y=Asinx(A0,0),x0,4 的部分图象,且图象的最高点为S(3,23) ；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全,限定MNP=120 .求A, 的值和M,P 两点间的距离答案：
11、 连接MP (图略).依题意,有A=23,T4=3 ,所以T=12 ,又T=2| ,所以=6 ,所以y=23sin6x,x0,4 .当x=4 时,y=23sin23=3 ,所以M(4,3) .又P(8,0) ,所以MP=(-4)2+32=5 ,即M,P 两点相距5km .素养演练数学建模三角函数模型的实际应用1.一半径为2m 的水轮如图所示,水轮圆心M 距离水面1m .已知水轮按逆时针方向匀速转动,每3s 转一圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P0 )开始计算时间.（1）试建立适当的坐标系,将点P 距离水面的高度h(m) 表示为时间t(s) 的函数;（2）点P 第一次到达最高点大约需要
12、多长时间?（3）记h=f(t) ,求证:f(t)+f(t+1)+f(t+2) 为定值.解析：审：以水轮旋转为背景,需要将点P 距离水面的高度h(m) 表示为时间t(s) 的函数,再求解点P 第一次到达最高点大约需要的时间,最后证明f(t)+f(t+1)+f(t+2) 为定值.联：（1）建立平面直角坐标系,设h=Asin(t+)+k(-20) ,根据条件求出参数;（2）用正弦函数的性质求解点P 第一次到达最高点需要的时间;（3）将t,t+1,t+2 代入f(t) 的解析式中,并证明.答案：（1）解：根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系. 设h=Asin(t+)+k(-20) ,则A= 2,k=
13、 1,因为T=3=2 ,所以=23 ,所以h=2sin(23t+)+1 ,因为t=0 时,h=0 ,所以0=2sin+1 ,解得sin=-12 ,因为-20 ,所以=-6 ,所以h= 2sin(23t-6)+1 .（2）令2sin(23t-6)+1=3 ,得sin(23t-6)=1 ,所以23t-6=2+2k,kZ ,解得t=1+3k,kZ ,所以当k= 0时,点P 第一次到达最高点,所以点P 第一次到达最高点大约需要1s .（3）证明：由（1）知f(t)=2sin(23t-6)+1=3sin23t-cos23t+1 ,f(t+1)=2sin(23t+2)+1= 2cos23t+1 ,f(t+
14、2)=2sin(23t+76)+1=-3sin23t-cos23t+1 ,所以f(t)+f(t+1)+f(t+2)= 3,即f(t)+f(t+1)+f(t+2) 为定值.解析：思：数学建模的步骤：发现问题、提出问题;分析问题、建立模型;确定参数、计算求解;验证结果、改进模型.迁移应用1.（2021江苏淮安高一期末）如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图,该摩天轮近似看作半径为4.8m 的圆,圆上最低点A 与地面的距离为0.8m ,摩天轮每60秒匀速转动一圈,摩天轮上某点B 的起始位置在最低点A 处.图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动 角到OB ,设B 点与地面间的距离为hm .（
15、1）求h 关于 的函数解析式;（2）设从OA 开始转动,经过t 秒后到达OB ,求h 与t 之间的函数关系式;（3）如果离地面高度不低于8m 才能获得最佳观景效果,在摩天轮转动的一圈内,有多长时间B 点在最佳观景效果的高度上？答案：（1）以圆心O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以Ox 为始边,OB 为终边的角为-2 ,故点B的坐标为(4.8cos(-2),4.8sin(-2) ,所以h=4.8+0.8+4.8sin(-2)=5.6+4.8sin(-2) .（2）点A 在圆上转动的角速度是260=30 ,故t秒转过的弧度数为30t ,所以h=5.6+4.8sin(30t-2)=5.6-4.8cos30t,t0,+ ）.（3）由5.6-4.8cos30t8 ,解得cos30t-12 ,所以2k+2330t2k+43,kZ ,则60k+20t60k+40,kZ ,故在摩天轮转动的一圈内,B点在最佳观景效果的高度上持续的时间为20秒.
