1、专题五 三角函数与解三角形 栏目导航 命题观察高考定位 主干整合归纳拓展 专题限时集训 专家预测巩固提升 命题观察高考定位(对应学生用书第 15 页)1(2017江苏高考)若 tan4 16，则 tan _.75 法一 tan4 tan tan 41tan tan 4tan 11tan 16，6tan 61tan(tan 1)，tan 75.法二 tan tan4 4tan 4 tan 41tan 4 tan 4161116175.2(2016江苏高考)定义在区间0,3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_7 法一 函数 ysin 2x 的最小正周期为22，yc
2、os x 的最小正周期为 2，在同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是 7.法二 联立两曲线方程，得ysin 2x，ycos x，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程 sin 2xcos x 解的个数方程可化为 2sin xcos xcos x，即 cos x(2sin x1)0，cos x0 或 sin x12.当 cos x0 时，xk2，kZ，x0,3，x2，32，52，共 3 个；当 sin x12时，x0,3，x6，56，136，176，共 4 个综上，方程组在0,3上有 7 个解，故两曲线在0,3上有 7
3、个交点3(2016江苏高考)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C的最小值是_8 在锐角三角形 ABC 中，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，等号两边同除以 cos Bcos C，得tan Btan C2tan Btan C.tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 2tan Btan Ctan Btan C1.A，B，C 均为锐角，tan Btan C10，tan Btan C1.由得 tan
4、 Btan C tan Atan A2.又由 tan Btan C1 得 tan Atan A21，tan A2.tan Atan Btan C tan2Atan A2tan A224tan A24tan A2(tan A2)4tan A242 448，当且仅当 tan A24tan A2，即 tan A4 时取得等号故 tan Atan Btan C 的最小值为 8.4(2015江苏高考)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_3 tan tan()tantan 1tantan 17211723.5(2016江苏高考)在ABC 中，AC6，cos B45，C4.(1)求 AB
5、的长；(2)求 cosA6 的值.【导学号：56394028】解(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B 1cos2B145235.由正弦定理知 ACsin B ABsin C，所以 ABACsin Csin B 6 22355 2.(2)在ABC 中，ABC，所以 A(BC)，于是 cos Acos(BC)cosB4cos Bcos 4sin Bsin 4.又 cos B45，sin B35，故 cos A45 22 35 22 210.因为 0A，所以 sin A 1cos2A7 210.因此，cosA6 cos Acos 6sin Asin 6 210 32 7 210 127
6、 2 620.6(2017江苏高考)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为 x0，所以 x66，76，从而1cosx6 32.于是，当 x66
7、，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.命题规律(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以填空题的形式考查(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查 yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档(3)三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用，解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因
8、此，在一套高考试卷中，既有填空题，还有解答题，总分占 20 分左右预测 2018 年高考中，热点是解答题，可能是三角函数恒等变换与解三角形综合，平面向量、三角函数与解三角形综合主干整合归纳拓展(对应学生用书第 16 页)第 1 步核心知识再整合1三角函数的定义设 是一个任意大小的角，角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx(x0)2同角三角函数的基本关系(1)sin2 cos21.(2)tan sin cos.3巧记六组诱导公式对于“k2，kZ 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限4辨明常用三种函数的易误性质函
9、数ysin xycos xytan x图象单调性在22k，22k(kZ)上单调递增；在22k，32 2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对称中心：2k，0(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(kZ)5.识破三角函数的两种常见变换6“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin.cos()cos cos sin sin.tan()tan tan 1tan tan.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
10、：sin 22sin cos.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2 2tan 1tan2.7“熟记”两个定理(1)正弦定理：asin A bsin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a
11、22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.第 2 步 高频考点细突破三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例 1】(泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)已知角 的终边经过点 P(x,6)，且 cos 45，则 x 的值为_.【导学号：56394029】解析 因为 r x236，所以xx23645，解之得 x8.答案 8【例 2】(江苏省泰州中学 2017 届高三上学期第二次月考)已知 3sin 4cos 5，则 tan _.解析 3sin 4cos 5，5sin()5tan 43，sin()1，2k2(kZ)，tan tan2k2
12、1tan 34.答案 34规律方法(1)利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴(2)将齐次式用 tan 表示注意角的变换举一反三(江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)已知 cos3 1302，则 sin()_.32 26 02，33，56，又 cos3 13，sin3 2 23，sin()sin sin3 3sin3 cos 3cos3 sin 32 23 1213 32 32 26.三角函数的图象与性质【例 3】(泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)已知函数 f(x)Asin6xA0，02 的部分图象如图
13、51 所示，P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为(2，A)，点 R 的坐标为(2,0)若PRQ23，则 yf(x)的最大值是_解析 由题设可知 T2612，则 P(2，A)，R(2,0)，Q(8，A)，所以 PRA，PQ 364A2，RQ 36A2，由余弦定理可得4A236A2A2362A A236cos 120，解之得 A2 3.答案 2 3【例 4】(泰州中学 2017 届高三上学期期中考试)函数 f(x)sin x 3cos x(x0)的单调增区间是_解析 因为 f(x)sin x 3cos x2sinx3，所以增区间为 2k2x32k2(kZ)，即2k6x2k56，取
14、k0可得6x56，又x0，故6x0.答案 6，0【例 5】(江苏省苏州市 2017 届高三上学期期中)已知函数 f(x)sinx3(0)，将函数 yf(x)的图象向右平移23 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小值等于_解析 函数 ysinx3 的图象向右平移23 个单位后与原图象重合，23n2，nZ，3n，nZ，又 0，故其最小值是 3.答案 3规律方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 yAsin(x)B 的形式，然后再求解(2)对于形为 yasin xbcos x 型的三角函数，要通过引入辅助角化为
15、ya2b2sin(x)(cos aa2b2，sin ba2b2)的形式来求(3)对于 yAsin(x)函数求单调区间时，一般将 化为大于 0 的值举一反三1(江苏省如东高级中学 2017 届高三上学期第二次学情调研)如图 52 所示为函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象，现将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为_.【导学号：56394030】sin2x6 因为34T1112 634，所以 T2，故 2，又 A1，sin26 1，即 32，也即 6，所以 f(x)sin2x6，向右平移6个单位后得 g(x)sin2x6
16、 6 sin2x6.2(江苏省南京市、盐城市 2017 届高三第一次模拟)将函数 y3sin2x3 的图象向右平移 02 个单位后，所得函数为偶函数，则 _.512 由题意得 y3sin2x3 为偶函数，所以232k(kZ)，又 02，所以 512.三角恒等变换和解三角形【例 6】(江苏省南通中学 2017 届高三上学期期中考试)在ABC 中，BC1，B3，ABC 的面积 S 3，则边 AC 等于_解析 由三角形面积公式得12BCBAsin B 3121BAsin 3 3BA4，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos B1612141213，AC13.答案 13【例 7】(20162
17、017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f(x)2sinx3 cos x.(1)若 0 x2，求函数 f(x)的值域；(2)设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f(A)32，b2，c3，求 cos(AB)的值解(1)f(x)sin x 3cos x cos xsin xcos x 3cos2x12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，由 0 x2得，32x343，32 sin2x3 1，0sin2x3 32 1 32，即函数 f(x)的值域为0，1 32.(2)由 f(A)sin2A3 32 32 得 sin2A3 0
18、，又由 0A2，32A343，2A3，A3，在ABC 中，由余弦定理 a2b2c22bccos A7，得 a 7，由正弦定理 asin A bsin B，得 sin Bbsin Aa 217，ba，BA，cos B2 77，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B122 77 32 217 5 714.规律方法(1)在三角形中考查三角函数式的变换，是近几年高考的热点这种题是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性：其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，应及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，注意“三统一”，即
19、“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口(2)在解三角形时，三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值举一反三(江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主学习测试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos B2acos A.(1)求 A 的大小；(2)若ABAC 3，求ABC 的面积解 法一 在ABC 中，由正弦定理，及 bcos Cccos B2acos A，得 sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，即 sin A2sin Acos A，因为 A(0，)，
20、所以 sin A0，所以 cos A12，所以 A3.法二 在ABC 中，由余弦定理，及 bcos Cccos B2acos A，得 ba2b2c22abca2c2b22ac2ab2c2a22bc，所以 a2b2c2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12，因为 A(0，)，所以 A3.(2)由ABACcbcos A 3，得 bc2 3，所以ABC 的面积为 S12bcsin A122 3sin 6032.解三角形在实际生活中的应用【例 8】(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)某城市有一直角梯形绿地 ABCD，其中ABCBAD90，ADDC2 km，BC1 k
21、m.现过边界 CD 上的点 E 处铺设一条直的灌溉水管 EF，将绿地分成面积相等的两部分图 53 图 54(1)如图 53，若 E 为 CD 的中点，F 在边界 AB 上，求灌溉水管 EF 的长度；(2)如图 54，若 F 在边界 AD 上，求灌溉水管 EF 的最短长度.【导学号：56394031】解(1)因为 ADDC2，BC1，ABCBAD90，所以 AB 3，取 AB 中点 G，则四边形 BCEF 的面积为12S 梯形 ABCDS 梯形 BCEGSEFG，即1212 3(12)12 32 132 12GF32，解得 GF 36，所以 EF322362 213(km)故灌溉水管 EF 的长
22、度为 213 km.(2)设 DEa，DFb，在ABC 中，CA 12 322，所以在ADC 中，ADDCCA2，所以ADC60，所以DEF 的面积为 SDEF12absin 60 34 ab，又 S 梯形 ABCD3 32，所以 34 ab3 34，即 ab3.在DEF 中，由余弦定理，得 EF a2b2ab ab 3，当且仅当 ab 3时，取“”故灌溉水管 EF 的最短长度为 3 km.规律方法 将实际问题转化为三角函数模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识求解举一反三(江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)如图 55，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E
23、 在 AB上，在梯形 BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE 区域内参观，在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN 为监控角，其中 M、N 在线段 DE(含端点)上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD6 米，AE6 米，AP2 米，MPN4，记EPM(弧度)，监控摄像头的可视区域PMN 的面积为 S 平方米(1)求 S 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；(参考数据：tan 543)(2)求 S 的最小值解(1)在PME 中，EPM，PE4 米，PEM4，PME34，由正弦定理可得 PMPEsinPEMsinPME 4sin cos，同理，
24、在PNE 中，PN 2 2cos，SPMN12PMPNsinMPN4cos2sin cos 82sin24 1，M 与 E 重合时，0，N 与 D 重合时，tanAPD3，即 34 54，03454，综上所述，SPMN82sin24 1，034 54；(2)当 242即 8时，S 取得最小值8218(21)平方米第 3 步高考易错明辨析1忽视函数的定义域出错已知函数 f(x)2sin2x4 6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值.错解(1)f(x)2sin 2xcos 4 2cos 2xsin 43sin
25、2xcos 2xf(x)2sin 2x2cos 2x2 2sin2x4，所以 f(x)的最小正周期为 T22.(2)因为正弦函数 ysin x(xR)的值域为1,1，所以 f(x)2 2sin2x4 的值域为2 2，2 2，故函数 f(x)的最大值为 2 2，最小值为2 2.正解(1)f(x)2sin 2xcos 4 2cos 2xsin 43sin 2xcos 2xf(x)2sin 2x2cos 2x2 2sin2x4，所以 f(x)的最小正周期为 T22.(2)因为 f(x)在区间0，38 上是增函数，在区间38，2 上是减函数，又 f(0)2，f 38 2 2，f 2 2，故函数 f(x
26、)在区间0，2 上的最大值为 2 2，最小值为2.2忽视边长的固有范围在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C(cos A 3sin A)cos B0.(1)求角 B 的大小；(2)若 ac1，求 b 的取值范围错解(1)cos(AB)(cos A 3sin A)cos B0，sin Asin B 3sin Acos B0，sin A(sin B 3cos B)0，sin B 3cos B0，即 2sinB3 0，B3.(2)在三角形 ABC 中，由余弦定理得b2a2c22accos 3(ac)23ac(ac)23ac2214.b12.正解(1)cos(AB)
27、(cos A 3sin A)cos B0，sin Asin B 3sin Acos B0，sin A(sin B 3cos B)0，sin B 3cos B0，即 2sinB3 0，B3.(2)在三角形 ABC 中，由余弦定理得b2a2c22accos 3(ac)23ac(ac)23ac2214.b12.bac1，12b1.专家预测巩固提升(对应学生用书第 20 页)1若函数 f(x)3|cos x|cos xm,x(0,2)有两个互异零点，则实数 m 的取值范围是_2cos x，x0，2 32，2，4cos x，x2，32，在 坐 标 系 中画出函数 g(x)图象，如图所示：由其图象可知当直
28、线 ym，m(4，20，g(x)3|cos x|cos x，x(0,2)的图象与直线 ym 有且仅有两个不同的交点2已知函数 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3，将 yf(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x)的图象，若函数 yg(x)在a，b上至少含有 1 012 个零点，则 ba 的最小值为_1 5163 由已知得，f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3，则 g(x)2sin2x6 3 12sin 2x1，若函数 yg(x)在a，b上至少含有 1 012 个零点，则 ba 的最小值为 5
29、06712 121 5163.3已知三个向量 ma，cos A2，nb，cos B2，pc，cos C2 共线，其中 a，b，c，A，B，C 分别是ABC 的三条边及相对的三个角，则ABC 的形状是_等边三角形 在三角形中，cos A2，cos B2，cos C2均不为 0，故由题意可得：acos A2bcos B2ccos C2.由正弦定理得：2sin A2cos A2cos A22sin B2cos B2cos B22sin C2cos C2cos C2 sin A2sin B2sin C2，即 ABC，所以ABC 为等边三角形4如图 56，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC，ED则 sinCED_.【导学号：56394032】图 561010 连接 AC，四边形 ABCD 是正方形，BAC45，DAEDAB90，ADAE1，AEDADE45，即DEACAB45，ACED，CEDECA，作 EFCA，交 CA 的延长线于点 F，AE1，由勾股定理得：EFAF 22，在 RtEBC 中，由勾股定理得：CE21222 5，CE 5，sin CEDsinECFEFCE 1010.专题限时集训（五）点击图标进入
